第十五章机械 第十五章机械波 Mechanical Wave 波动是自然界中常见的一种物质运动形式。在上一章机槭振动中,我们曾说过:振动是波动的根源 而波动是振动的传播过程。本章将通过机槭振动在空气中的传播形成机械波来具体看此过程。通常将波动 分为两大类:一类是杋械振动在弹性介质中的传播,称为机械波,如水面波、声波、地震波等。另一类是 变化的电磁场在空间的传播,称为电磁波,如无线电波、光波等等。虽然它们的本质不同,但它们都有以 下共同特性: (1)具有一定的传播速度 (2)伴随着能量的传播; (3)能产生反射、折射、干涉和衍射等现象 (4)有相似的波函数等。 这些性质被称为波动性( undulatory property)。由于机械波比较形象、直观,因此我们将通过对机械 波的研究来揭示各类波动的共同性质和规律 本章分10节: §15-1机械波的几个概念 §15-2平面简谐波的波函数 §15-3波的能量 §15-4惠更斯原理波的衍射、反射和折射 §15-5波的干涉 §15-6驻波 §157声波、超声波、次声波 §15-8多普勒效应 §15-1机械波的几个概念 Some Concepts of Mechanical Wave 机械波的形成 波动的产生 气体、液体和固体统称为弹性介质,组成弹性介质的质点(或质元)之间以弹性力相互联系着。当介 质中某一质点P偏离平衡位置时,由于形变,相邻质点就将对它施以弹性力的作用,使它回到平衡位置来 但是由于惯性的存在,P质点回到平衡位置后,又将向相反方向运动。于是质点P就在其平衡位置附近振 动起来。与此同时,由于各质点之间有弹性力作用,P质点将带动相邻质点,使之也在自己的平衡位置附 近振动起来。因此,介质中一个质点的振动会引起(带动)邻近质点的振动,而邻近质点的振动又会引起 较远质点的振动。这样,振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去,形成波动。这种机械振 动在弹性介质中的传播称为弹性波( elastic wave),即机械波
第十五章机械波 04812162024 t=0 2 37 t=T 2.产生机械波的条件: 1)波源:产生机械振动的振源。亦即第一个振动的质点 2)弹性介质:传播机械振动 例如:钟表的闹铃,在空气中可以看见其振动,也可以听见声音,放在真空中只能看见其振动,但听 不见声音。原因是真空中没有传播此振动的介质。 3.需要注意的问题: 1)波动是波源的振动状态(或波动能量)在介质中的传播。媒质中各质元都在重复着波源的运动 故在做受迫振动 2)媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动,并末“随波逐流”。因此波的传播不是媒质质元的传播。 3)波源的振动状态沿波射线的方向由近及远向外传播,因此沿波射线方向各质元的振动相位是逐 落后的 波的类型 按介质质点的运动方向与波动传播方向来分—横波和纵波 横波( transverse wave):质点的振动方向与波的传播方向垂直 波形凸起部分叫做波峰,凹下部分叫做波谷。 纵波( longitudinal wave):质点的振动方向与波的传播方向平行 说明 1)横波的传播表现为波峰、波谷沿传播方向移动。纵波的传播则表现为疏、密状态沿波的传播方向 移动。 2)产生横波需要介质内部有垂直于波的传播方向的切向弹性力,通常在气体和液体内部不能产生这 种切向弹性力,所以它们只能传播纵波。在固体内部冇此则切向弹性力,故它既能传播横波又能传播纵波 3)在一般情况下,一个波源在固态物质中可以产生横波和纵波,例如地震波。还有一些波既不是横
波又不是纵波,例如水面波,质元沿一椭圆轨道运动,因此水的质元既有平行于波传播方向的运动,又有 垂直于波传播方向的运动。 2.按波的波前来分——平面波、球面波、柱面波 为了形象地描述波在空间的传播情况,通常沿波的传播方向作一些带箭头的线,称为波线( wave ray), 波线的指向表示波的传播方向:在同一时刻,波动传播到的空间各点构成的曲面称为波振面(或波面)(wave surface),显然同一波面上各点的相位是相同的。最前面的波面称为波前( wave front)。因此,在任何时刻, 波前只有一个。在各向同性介质中,波线恒与波面垂直。 面球面波 平面波 波前 在各向同性的介质中,波线与波面垂直 平面波:波前为平面一 plane wave; 球面波:波前为球面,由点波源产生— spherical wave; 柱面波:波前为柱面,由形状波源产生 按波动的传播来分行波和驻波 行波( travelling wave):振动状态或振动能量由波源向外传播的波 驻波:由同一直线上沿相反方向传播的两列振动方向相同、振幅相同、频率相同、相位相同或相位差 恒定的波叠加而成。驻波没有振动状态和能量的传播 4.按波动的明显的物理性质来分—光波、声波、水波等 5.按传播波动的质点的行为来分—脉冲波、周期波等 三、描述波动的物理量—波长、周期与频率、波速 1.波长( wavelength)λ——反映波动的空间周期性 定义:同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离 波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度。横波:相邻两个波峰或波谷之 间的距离;纵波:相邻两个密部或疏部之间的距离 2.周期( periodic)与频率( frequency)-反映波动的时间周期性 定义:波传播一个波长所需要的时间,叫周期,用T表示。单位:秒。 频率:周期的倒数叫做频率,用v表示。单位:赫兹 1/T 即波动在单位时间内前进的距离中所包含的完整的波的数目 由于波源作一次完全的振动,波就前进一个波长的距离,且后面质点的都是作受迫振动,即在第一个 质点(振源)的带动下振动。因而 1)波的周期等于波源振动的周期; 2)波的周期只与振源有关,而与传播介质无关 3.波速( wave velocity)u描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量 定义:在波动过程中,某一振动状态在单位时间内所传播的距离。由于振动状态的传播也就是相位的 传播,因而这里的波速也称为相速( phase velocity) 理论研究表明,波速取决于介质的弹性模量和介质的密度,而与振源无关;
第十五章机械 绳或弦上的横波速度=√T,T张力,一线密度; 固体中的波速=√G/p—横波,G切变模量 l=√Y/p—纵波,Y—杨氏模量,p—密度 液体或气体中的纵波波速v=√B/p,B介质的容变模量。 说明 )波速用u表示,是为了和V(质点的振动速度)区分 2)波速的大小与介质有关。在不同的介质中,波速是不一样的。例如声波:在空气中,波速为331ms 氢气中,波速为1263m/s 3)关于波速应注意以下几点: (1)波的传播速度是振动状态传播的速度,也是相位传播的速度。因此此处的波速为相速。 (2)要区分波的传播速度和媒质质点的振动速度。后者是质点的振动位移对时间的一阶导数,它反 映质点振动的快慢,它和波的传播快慢是完全不同的两个概念 4)三者的关系 在一个周期中,波前进一个波长,故l=A/T=Av 5)讨论 (1)上式是波速、波长和频率之间的基本关系式,对各种波都适用; (2)频率反映了振动在时间上的周期性,波长反映了振动在空间上的周期性,上式把两种周期性联 系起来; (3)由于波速与介质有关,而频率与介质无关,故当波在不同介质中传播时,其波长也因介质的不 同而不同 例1:在室温下,已知空气中的声速为u1=340ms,水中的声速为u2=1450ms,求频率为200Hz的声 波在空气和水中的波长。 解:由λ=一,得 空气中,=4=340 200 水中 =22=1450 =7.25m 结论:同一频率的声波,在水中的波长要比在空气中的波长要长。 原因:波速决定于介质,频率决定与振源,所以同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时, 频率不变,但波速不同,因而波长也不同。 四、思考题 机械波产生和传播的条件是什么? 2.波长、波速、频率和振幅这些物理量在波从一种介质透入另一种介质时,哪些会发生改变?
第十五章机械波 §15-2简谐波的波函数 Wave Function of Simple harmonic Wave 平面简谐波的波函数 由于一般的波动过程是比较复杂的。所以我们只讨论最简单的情况,即平面简谐波。平面简谐波就是 波源作简谐振动,因其他质点是作受迫振动,也在作简谐振动,且波振面是平面的波称为平面简谐波,或 称为简谐波,这是一种最简单、最基本的行波,严格的简谐波只是一种理想化的模型。而任何非简谐的复 杂的波,都可看成是由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。(与简谐振动讨论方法相同) 如何定量描述一个波,即要找到一个函数,能够表示任一质点在任一时刻的运动规律。波动方程就是 用已知波源的振动规律,表达出弹性媒质中各点的振动的规律y(x.)的方程式。 1.平面简谐波的波函数 假定平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的均匀的、无限大介质中传播,则所有波线上波动的传播 情况都相同,因此在任一条波线上的波都能够代表整个介质中的波动。 设平面简谐波以波速u沿ⅹ轴正方向传播,X轴与平面简谐波的一条波线重合,各个质点的平衡位置 都在X轴上。设X轴原点O处的质点的振动方程为 Vo= Acos t (q=0) 对于X轴上任一点P(x,当振动从O点传播到P点时,P处质 点将重复O点的振动,但是在时间上要落后τ=x/,或者说P处振 动的相位要比O处的相位落后ωτ。因此在时刻t,P处质点的振动 方程为 yp=//-+ 该方程反映了质点P在任一时刻相对于自己平衡位置的位移。由于P点的任意性,即它的振动代表所 有质点的振动,可得平面简谐波的波函数为 y=Acos[- l 应用=2=Av和a=2xp 该方程又可以表示为以下形式 y=AcoS 2 y=Acos w 若O处质点的振动初相位为q,则相应的波函数为 A 可见波动中质点的位移y是位置x和时间t的二元函数。 2.各质点振动的速度和加速度 把波函数对时间求偏导,则可以得到x处质点振动的速度和加速度