第三章运动守恒定律 简介 关于物体运动规律的表述,除了牛顿运动定律之外,还有动量、能量和角动量三个定理和三个守恒定 律。也就是除了讨论质点运动状态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系外,还必须研究力的累积效应, 即要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行,因而力的积累效应分为力的空间积累和时间 积累两类。在这两类效应中,质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下,质点 系内的动量或能量将保持守恒。 (1)力的空间累计效应:功、能 (2)力的时间累计效应:冲量、动量; 3)相关规律:动能定理、功能原理、杋械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律 重点和难点 重点保守力、势能、功能原理、动量守恒定律、机械能守恒定律。 点势能概念及其数值计算。 基本要求 1.掌握保守力作功的特点和由之定义的势能的概念,会计算重力势能、弹性势能、万有引力势能 2.掌握质点系的动能定理和功能定理 3.掌握机械能守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律的物理意义及适用条件; 4.掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法,会计算简单系统在平面内运动的简单力学问题; 5.了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 6.了解质心的概念及质心运动定律 章节目录 §3-1功动能动能定理 §3-2保守力与非保守力势能 §3一3功能原理机械能守恒定律 §3-4质点和质点系的动量定理 §3-5动量守恒定律 §3-6完全弹性碰撞完全非弹性碰撞 §3-7能量守恒定律 §3-8系统内质量移动问题 §3-9质心质心运动定律
§3-1功动能动能定理 日常生活中常常遇到力对物体做功的问题。而力对物体做功可以用力的空间积累来表示。本节将介绍 功的概念及力对物体做功的效果,其表现为物体动能的增量。 力学( Mechanics)与机械学( mechanism)是同源词。在历史上,推动力学产生与发展的,除了天文 学外,主要是对机械装置原理的研究。人们制造机械,是为了让它们做功(Work)。一个物体具有做功的 本领,叫做具有一定的能量( Energy)。动能是运动的物体具有的能量,而势能是物体相对位置变化而具 有的能量,它是一种潜在的能量 、功(Work) 功是表示力的空间累积的物理量 关于功的定义,我们在中学就已经熟悉了。即 ′= F cose s= FS coSe 这个关系说明,功由三个因素所组成:(1)有力的作用;(2)力的作用点发生了位移;(3)力和位移 矢量之间的夹角的余弦不为零,这三条缺一都不能构成做功的过程。 恒力的功 物体在恒力F的作用下,沿直线运动,位移为AF,并且与力F成0角,则定义力F对物体所作的 功A为 A= Cost△r= ARcos 即力对物体所作的功等于该力沿运动方向的分量与物体位移的乘积(标积, Scalar product)。由数 学中的矢量关系又可得矢量式 A=F 说明: )功是标量,只有大小,没有方向,但有正、负。 0≤0<I/2,功W为正值,即力对物体作正功 功W=0,此时,力与物体的位移垂直,力对物体不做功; 0>丌/2,功W为负值,即力对物体作负功,或物体克服该力做功。 2)单位:焦耳(J)1J=1N.m 3)功的另一定义:力对物体所作的功等于质点的位移在力的方向上的分量与力的大小的乘积 W=( Cost)△r=F(△ rcos e),两种表示相同。 2.变力的功 上面讨论了恒力做功的问题。如果物体在发生某个位移的过 程中所受的力是变力,即力的大小、方向都可能是变化的,则还 能用前面的研究方法吗?虽不能直接应用,但经过数学处理后 在一个小位移元内前面的式子依然可用。我们把物体运动的轨迹 分成许多微小的位移元,在每一个位移元内,力可视为不变,则 在每一个位移元内,力所作的功为 dA= F. dr= Fcos 0 dr
总功为A=|dA dr=Fcos 0 dr 3.合力的功 A=F=ΣF)=∑(F)=∑A 例如:如图所示:F对物体做正功FS:N对物体不做功:∫对物体负功—S5:mg对物体不做 合力对物体做的总功A=(F)S 结论:合力的功等于各个分力所作的功的代数和 4.功的计算 )积分方法:从定义式出发 A=dA 在直角坐标系中,若F=F+F+F2k dr= dxi +dyi + dzk A=E,dx+ F, dy + F, da) 注意:在求解过程中需要弄清楚要求的是哪一个力做的功,并要能写b 出该力随位置变化的关系式,然后积分即可 在自然坐标系中 F= FT+Fn, ds=ds t 则 A=FdS=F,ds 即力对质点所做的功等于力的切线分量对路径的线积分。由于法向力与 路径垂直,因而它始终不做功。 计算功的方法 (1)分析质点受力情况,确定力随位置变化的关系 (2)写出元功的表达式,选定积分变量 (3)确定积分上、下限进行积分,求出总功。 2)功的图示法 纵坐标表示作用在物体上的力在位移方向上的分量,横坐标表 示质点沿曲线运动的路程。曲线下的总面积等于力所作的总功。由 下图可以看出该力为变力,而在在内,力F可近似看作是不变。 例1.设作用在质量为2kg的物体上的力为F=6r(N)。如果物体由静止出发沿直线运动,问在前2s时 间内,这个力对物体所作的功 解:由功的定义式和题所给的条件知,首先要求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律F=ma可 知物体的加速度为a=d/r=F/m=612=3t 所以 dv=tdi 积分得 dv=[tdt=1.5t (y=1.5t2
故位移与时间的关系为dt=1.57d 因而力所作的功为 A=Fbh=jo1mh=∫rh=36 功率( Power 1.定义:单位时间内完成的功,叫做功率。 平均功率:万△A 瞬时功率:P dt 2.物理意义:表示做功的快慢 3.功率的公式 44=F如=F 单位:瓦特(W)1W=1Js2,lkW=10W 即功率等于力与速度的点积。 4.应用: 1)发动机的功率一定,要加大牵引力,就要降低速度;要获得较大的速度,牵引力就得减小。 2)变速自行车的齿轮变速装置,改变额定功率 5.儿个功率的数量级 睡觉70-80w(基础代谢)闲谈70-80W 走路170-380W 听课70-140W 跑步700-1000W 足球630-840W 质点的动能定理( Theorem of Kinetic Energy) 为了进一步理解功的概念和功与其他物理量之间的关系,我们来讨论质点的动能定理。首先了解一下 什么是动能?动能的概念是人们在长期的生产实践和科学研究中总结出来的,发现运动的物体具有做功的 本领。例如:铁锤钉钉子;风力推动帆船;流水推动水轮机。把运动着的物体具有做功的本领叫动能。用 E=my2表示。动能的单位:焦耳 1.质点的动能定理 质量为m的物体在合外力F的作用下,由A点运动到B点,其速度的大小由v变成v2。求合外力对 物体所作的功与物体动能之间的关系。 把路径分成许多位移元,则合外力在位移元d内所作的元功为 d=F·t 由牛顿第二定律可知 F -a =n dt 所以F·c=mv·布 积分∫F=「m,d Vo 得A=my2-m2质点的动能定理
或W=Ek-E0 质点的动能定理 其中A=「F 为合外力所作的功 E0213,E=mv2分别为质点的初、末动能 质点的动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 2.说明: 1)A为合外力对质点所作的功 合外力作正功A>0,E2>E1,质点的动能增加; 合外力不做功A=0,Ek2=Ek1,质点的动能不变 合外力作负功A<0,Ek2<Ek1,质点的动能减小 2)只有合外力对质点做功,质点的动能才发生变化 功是能量变化的量度,是过程量,与过程有关,A=F·c 动能决定于状态,是状态量,与状态有关E 3)质点的动能定理只适用于惯性系(动能定理是从牛顿运动定律导出的)。 3.质点动能定理的应用 动能定理是在牛顿第二定律的基础上推导出来的。利用动能定理解题的方便之处在于不必注意质点在 运动过程中任一时刻状态变化的细节。在确定了研究对象之后,只要分析质点在过程始、末状态的动能变 化,就可以列出方程。这使力学问题中的变力做功问题的求解大大简化。 (1)动能Ek是标量,仅是状态量ν的单值函数,它是状态量 (2)功与动能的本质区别:它们的单位和量纲相同,但功是过程量,动能Ek是状态量:功是能量变 化的量度 (3)由质点的动能定理可知,当合外力做正功时,质点的动能增加;当合外力做负功时,质点的动 能减少。亦即质点反抗外力倣功是以自身动能的减少为代价,可见动能是质点因运动而具有的做功本领 (5)动能定理的表达式是一个标量方程,它只涉及质点运动的初态和终态,不问运动过程的细节 因此,在求解某些力学问题时比较方便 (6)功和能具有普遍意义 四、思考题 1、合外力对物体所作的功等于物体动能的增量,那么,其中某一个分力作的功,能否大于物体动能 的增量 2、质点动能是否与惯性系的选取有关?功是否与惯性系有关?质点动能定理是否与惯性系有关?请 举例说明。 例2:质量为m的小球系在长为l的细绳下端,绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线 成θ角处,然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成O角时,小球的速率 解:第一步:计算外力所做的功 小球受力如图。由分析可知为变力做功 A=[Fd=「7+P 因为 =0 P ∫Pb=Pb=了pmb 并且注意到d=-d6