因此A=mgma=- mg/sin AdB=mg(o-os) 第二步:用动能定理求小球的速度 由动能定理,得:A=mgl(co6-cos6)=m2、1 mVe=-mmv 故绳与铅直线成角时,小球的速率为:w=√2gl(cosb-cos6) 例3.质量为10g、速度为200m的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动。若墙壁的 阻力是一恒量,求墙壁对子弹的作用力 解:可以用牛顿第二定律求解,但比较复杂。用动能定理比较简单。 初态动能 末态动能E 做功 由动能定理=E-E60=0-m2 得 J/smy20.01×200 =-5×103N 2×0.04 负号表示力的方向与运动的方向相反。 例4.力F作用在质量为1.0kg的质点上,已知在此力作用下质点的运动方程为x=314+(SI,求在 0到4S内,力F对质点所作的功。 解:1、用动能定理求解 由运动方程可得质点的速度为 dr d dt dt 0时,v=3-8×0+3×02=3(ms-) =s时,v=3-8×4+3×4=19(m·s-) 因而质点始末状态的动能分别为 EA0=mv2=x1×32=4.5(J E4=m2=×1×192=180.5(J/ 根据质点的动能定理,可知力对质点所作的功为 A=E-Eo=180.5-4.5=176() 2、用变力做功求解(同学白己做)
§3-2保守力与非保守力势能 在日常生活中大家都知道从高处落下的重物能够做功,如打桩、高山上的瀑布落下带动发电机发电 这都说明位于高处的重物位置变化亦具有做功本领,故它也具有能量,该能量称为势能 本节将从几种常见力的做功特点岀发,引岀保守力和非保守力概念,然后介绍各种势能。 万有引力、重力、弹性力做功的特点 引力做功 设两个质量为m和M的质点,其中质点M不动,m在引力的作用下,从点a沿ab路径运动到点b, 取M所在位置为坐标原点,点a和点b到坐标原点的距离分别为r和r,求引力所做的功 将质点的运动路径分成许多位移元dr,在该位移元中力可以近视看作常量,则引力所作的元功为 dA= F dr=-G 研=-my 从点a沿ab路径运动到点b,引力所作的总功为 G-dr= GMml A=GM,/1I 结论:引力做功只与质点的起始和终了位置有关,而与质点所经过的路径无关 2.重力做功 质量为m的质点,在重力的作用下,从点A沿ADB路径运动到点B,点A和点B到地面的高度分别 为y和y2,求重力所做的功。 将质点的运动路径分成许多位移元 y 则重力所做的元功为 ya C ngj(dxi+dyj) 从点A沿ADB路径运动到点B,重力所做的总功为 A Vb mg(y,-y1)=-(mg? -mgy) 结论:重力做功只与质点的始、末位置有关,而与质点所经过的路径无关。 3.弹性力做功 在光滑水平面上放置一个弹簧,弹簧一端固定,另一端与一个质量为m的质点相连。弹簧在水平 方向不受外力作用时,它将不发生形变,此时质点位于O点,这个位置称为平衡位置。若在外力的作用下 质点从点a被拉到点b,点a和点b到平衡位置的距离分别为x2和x,撤消外力后,质点在弹性力的作用
下运动,求弹性力所做的功。 将质点的运动路径分成许多位移元dx,在位移元dx内,弹性力可近似看成不变,由虎克定律得弹性 力为 F=-lxi 弹性力的元功为 d=F·t=-kxi·axi=-kxdx 质点从b点运动到a点,弹性力所作的功为 =-k=k:-k B 结论:弹性力做功只与质点的起始和终了位置有关,而与质点所经过的路径无关 4.摩擦力做功 设一个质点在粗糙的平面上运动(假设摩擦力为常量),则摩擦力做功为 A=7=」=S 摩擦力做功与质点运动的具体路径有关。 保守力与非保守力保守力做功的数学表达式 1.保守力( Conservation force) 1)定义:物理学上把具有做功只与始、末位置有关而与路径无关这一特点的力称为保守力。重力 万有引力和弹性力等都是保守力。 2)数学表达式 质点在保守力的作用下,从a点沿路径acb运动到b点,再沿路径bd运动到a,则保守力在这一过 程中所做的功为 A=Fd=「Fd+∫F 由于[F·d= 且 所以质点沿任意闭合路径运行一周时,保守力做功为零 A=dF·d=0 (3)说明:保守力做功与路径无关和保守力沿任意路径一周所的功为零是等价的,都可以作为一种 力是否保守力的判据 2.非保守力 1)定义:物理学上把具有做功与路径有关的力称为非保守力。摩擦力等就是非保守力。 2)数学表达式: 质点沿任意闭合路径运行一周时,非保守力做功不为0 A=4F·d≠0 当系统中存在摩擦力时,系统的总的机械能减少,并转变为热能,通常人们把这个过程称为耗散过程 而把导致耗散的力称为耗散力。 、势能 1.势能的概念
物体具有能量的标志是它具有做功的本领,这一结论对质点系也是适用的。若质点系能对其他物体做 功或对质点系内的质点做功,就表明质点系具有能量 由保守力做功的特点得知,保守力做功只与质点的始、末位置有关,而与所经过的路径无关,因此对 任一保守力都可以找到一个只与位置有关的函数,而保守力做的功可以用这个函数在受力质点始、末位置 的变化来表示。势能不同与动能,是一种潜在的能量。且势能可以储存好长时间。如:修建大雁塔时工人 师傅把砖搬上去。若干年后,它掉下来重力势能才释放岀来 2.常见保守力的势能 由前面的讨论可知,当质点从P(仅表示某位置)点移到Q点时,保守力所的功等于势能的减小, A=mgy, -,=-(mgy2-mgy,) A=GMn 保守力做功只给出了势能之差。要确定势能还必须选择一个参考位置,规定质点在该位置的势能为零, 通常称这一位置为势能零点 即质点在某一位置所具有的势能等于把质点从该位置沿任意路径移到势能为零的点时保守力所做的 重力势能En=mgy Mm 引力势能En=-G 弹性势能E 引入势能以后,保守力做功可用一个统一的式子表示: A E △E 即保守力做功等于势能增量的负值。保守力作正功时势能减小,与日常生活中利用势能减小来做功是 相符的 3.讨论 (1)势能是状态的函数。 因为在保守力作用下,只要物体的始、终位置确定了,保守力所做的功也就确定了,而与所经过的路 径无关,所以说,势能是坐标的函数,亦即是状态的函数。 (2)势能只有相对意义,势能的值与势能零点的选取有关。 势能零点可以任意选取,但以简便为原则,选取不同的势能零点,物体的势能就将具有不同的值。但 两点间的势能差则是绝对的,与势能零点的选取无关。如:重力势能:零点可以任意选择,一般选地面的 重力势能为零;引力势能:零点选在无穷远点;弹性势能:零点选在弹簧的平衡位置 (3)势能是属于系统的。势能是由系统内各物体间相互作用的保守力和相对位置决定的能量,因而 它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的 同样,弹性势能是物体和弹簧组成的系统;引力势能是两个物体组成的系统。习惯上称某物体的势能,这 只是叙述上的简便而已
(4)只有保守力场才能引入势能的概念。 四、势能曲线 如果给定一个力,则可以直截了当地从势能的定义求出势能。然而在许多情况下,特别是在微观领域 中,用势能函数描述力的特性,要比用力的各个分量来描述更为简明。因而势能曲线的一个重要用途就是 能够把势能曲线的特定形式,同在自然界中观察到的特定的相互作用联系起来 当坐标系和势能零点确定后,质点的势能仅是坐标的函数,即Ep=Ep(x,y,z)。按此函数画出的势 能随坐标变化的曲线,称为势能曲线 E. Ep=mgy 重力势能 般选地面或某一水平面为重力势能的零点 E y—质点相对于势能零点的高度 E 势能零点以上,重力势能为正; 势能零点以下,重力势能为负。 2.引力势能 E 选无穷远处为引力势能零点 Mm E 引力势能为负值 .弹性势能 无形变(平衡位置)处的弹性势能为零 Ep 无论弹簧被压缩还是被拉伸,弹性势能总是正的。 势能曲线是势能随相对位置变化的曲线。它为研究势场中的物体的运动提供了一种形象化的手段