第12章波动学基础 振动的传播就是波机械振动在弹性介质中的传播形成机械波水波和声波都属于 机械波但是,并不是所有的波都依靠介质传播光波、无线电波可以在真空中传播,它们 属于另一类波,称为电磁波微观粒子也具有波动性这种波称为物质波或德布罗意波 各类波虽然其本源不同,但都具有波动的共同特性,并遵从相似的规律我们就从机械波 开始讨论 §121机械波的产生和传播 机械波产生的条件 当用手拿着绳子的一端并作上下振动时绳子将形成一个接着一个的凸起和凹陷, 并由近及远地沿着绳子传播开去,这一个接着一个的凸起和凹陷沿绳子的传播,就是 种波动显然绳子上的这种波动是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的对 于波动而言这一点就称为波源绳子就是传播这种振动的弹性介质 我们可以把绳子看作一维的弹性介质组成这种介质的各质点之间都以弹性力相 联系,一旦某质点离开其平衡位置,则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用, 此弹性力既迫使这个质点返回平衡位置,同时也迫使邻近质点偏离其平衡位置而参与 振动另外组成弹性介质的质点都具有一定的惯性当质点在弹性力的作用下返回平衡 位置时,质点不可能突然停止在平衡位置上而要越过平衡位置继续运动所以说,弹性 介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程 在波的传播过程中,虽然波形沿介质由近及远地传播着而参与波动的质点并没有 随之远离,只是在自己的平衡位置附近振动所以,波动是介质整体所表现的运动状态 对于介质的任何单个质点只有振动可言 应该特别指出的是,弹性介质是产生和传播机械波的必要条件而对于其他类型的 波并不一定需要这个条件光波和无线电波都属于电磁波是变化的电场和变化的磁场 互相激发而产生的波,可以在真空中产生和传播实物波或德布罗意波反映了微观粒子 的一种属性,即波动性代表了粒子在空间存在的概率分布并非某种振动的传播,更无 需弹性介质的存在 横波和纵波 在波动中如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直,这种波称为横 波:如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行这种波称为纵波 上面所说的凸起(称为波峰)和凹陷(称为波谷)沿绳子的传播,就是横波纵波 的产生和传播可以通过下面的实验来观察将一根长弹簧水平悬挂起来在其一端用手 压缩或拉伸一下,使其端部沿弹簧的长度方向振动由于弹簧各部分之间弹性力的作用 端部的振动带动了其相邻部分的振动而相邻部分又带动它附近部分的振动因而弹簧
1 第 12 章 波动学基础 振动的传播就是波.机械振动在弹性介质中的传播形成机械波,水波和声波都属于 机械波.但是,并不是所有的波都依靠介质传播,光波、无线电波可以在真空中传播,它们 属于另一类波,称为电磁波.微观粒子也具有波动性,这种波称为物质波或德布罗意波. 各类波虽然其本源不同,但都具有波动的共同特性,并遵从相似的规律.我们就从机械波 开始讨论. §12.1 机械波的产生和传播 一、 机械波产生的条件 当用手拿着绳子的一端并作上下振动时,绳子将形成一个接着一个的凸起和凹陷, 并由近及远地沿着绳子传播开去,这一个接着一个的凸起和凹陷沿绳子的传播,就是一 种波动.显然,绳子上的这种波动,是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的,对 于波动而言,这一点就称为波源.绳子就是传播这种振动的弹性介质. 我们可以把绳子看作一维的弹性介质,组成这种介质的各质点之间都以弹性力相 联系,一旦某质点离开其平衡位置,则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用, 此弹性力既迫使这个质点返回平衡位置,同时也迫使邻近质点偏离其平衡位置而参与 振动.另外,组成弹性介质的质点都具有一定的惯性,当质点在弹性力的作用下返回平衡 位置时,质点不可能突然停止在平衡位置上,而要越过平衡位置继续运动.所以说,弹性 介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程. 在波的传播过程中,虽然波形沿介质由近及远地传播着,而参与波动的质点并没有 随之远离,只是在自己的平衡位置附近振动.所以,波动是介质整体所表现的运动状态, 对于介质的任何单个质点,只有振动可言. 应该特别指出的是,弹性介质是产生和传播机械波的必要条件,而对于其他类型的 波并不一定需要这个条件.光波和无线电波都属于电磁波,是变化的电场和变化的磁场 互相激发而产生的波,可以在真空中产生和传播.实物波或德布罗意波反映了微观粒子 的一种属性,即波动性,代表了粒子在空间存在的概率分布,并非某种振动的传播,更无 需弹性介质的存在. 二、横波和纵波 在波动中,如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直,这种波称为横 波；如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行,这种波称为纵波. 上面所说的凸起（称为波峰）和凹陷（称为波谷）沿绳子的传播,就是横波.纵波 的产生和传播可以通过下面的实验来观察.将一根长弹簧水平悬挂起来,在其一端用手 压缩或拉伸一下,使其端部沿弹簧的长度方向振动.由于弹簧各部分之间弹性力的作用, 端部的振动带动了其相邻部分的振动,而相邻部分又带动它附近部分的振动,因而弹簧
各部分将相继振动起来弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子 的凸起和凹陷,而表现为弹簧圈的稠密和稀疏如图12.1所示图中弹簧圈的振动方向与 波的传播方向相平行对于纵波除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横 波不同外,其他性质与横波无根本性的差异所以对横波的讨论也适用于纵波对纵波的 讨论也适用于横波 QQ0900999 图121 说明:1)有的波既不是纯粹的纵波也不是纯粹的横波如液体的表面波.当波通过 液体表面时该处液体质点的运动是相当复杂的,既有与波的传播方向相垂直的方向上 的运动,也有与波的传播方向相平行的方向上的运动这种运动的复杂性,是由于液面上 液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果 2)介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程弹性介质无论是气体、液 体还是固体,其质点都具有惯性至于弹性对于流体和固体却有不同的情形.固体的弹 性,既表现在当固体发生长变(或体变)时能够产生相应的压应力和张应力,也表现在 当固体发生剪切时能够产生相应的剪应力所以在固体中,无论质点之间相对疏远或靠 近还是相邻两层介质之间发生相对错动,都能产生相应的弹性力使质点返回其平衡位 置这样固体既能够形成和传播纵波,也能够形成和传播横波.流体的弹性只表现在当 流体发生体变时能够产生相应的压应力和张应力,而当流体发生剪切时却不能产生相 应的剪应力这样,流体只能形成和传播纵波而不能形成和传播横波 波射线和波振面 波射线和波振面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念.从波源沿各 传播方向所画的带箭头的线称为波射线用以表示波的传播路径和传播方向波在传播 过程中所有振动相位相同的点连成的面称为波振面显然,波在传播过程中波振面有 无穷多个在各向同性的均匀介质中,波射线与波振面相垂直 图122 波振面有不同的形状.一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波其波振面是 系列同心球面波振面为球面的波称为球面波;波振面为平面的波称为平面波当球
2 各部分将相继振动起来.弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子 的凸起和凹陷,而表现为弹簧圈的稠密和稀疏,如图 12.1 所示.图中弹簧圈的振动方向与 波的传播方向相平行.对于纵波,除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横 波不同外,其他性质与横波无根本性的差异,所以对横波的讨论也适用于纵波,对纵波的 讨论也适用于横波. 说明：1）有的波既不是纯粹的纵波,也不是纯粹的横波,如液体的表面波.当波通过 液体表面时,该处液体质点的运动是相当复杂的,既有与波的传播方向相垂直的方向上 的运动,也有与波的传播方向相平行的方向上的运动.这种运动的复杂性,是由于液面上 液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果. 2）介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程.弹性介质,无论是气体、液 体还是固体,其质点都具有惯性.至于弹性,对于流体和固体却有不同的情形.固体的弹 性,既表现在当固体发生长变（或体变）时能够产生相应的压应力和张应力,也表现在 当固体发生剪切时能够产生相应的剪应力.所以,在固体中,无论质点之间相对疏远或靠 近,还是相邻两层介质之间发生相对错动,都能产生相应的弹性力使质点返回其平衡位 置.这样,固体既能够形成和传播纵波,也能够形成和传播横波.流体的弹性只表现在当 流体发生体变时能够产生相应的压应力和张应力,而当流体发生剪切时却不能产生相 应的剪应力.这样,流体只能形成和传播纵波,而不能形成和传播横波. 三、波射线和波振面 波射线和波振面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念.从波源沿各 传播方向所画的带箭头的线,称为波射线,用以表示波的传播路径和传播方向.波在传播 过程中,所有振动相位相同的点连成的面,称为波振面.显然,波在传播过程中波振面有 无穷多个.在各向同性的均匀介质中,波射线与波振面相垂直. 波振面有不同的形状.一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波,其波振面是 一系列同心球面.波振面为球面的波,称为球面波；波振面为平面的波,称为平面波.当球
面波传播到足够远处,若观察的范围不大,波振面近似为平面可以认为是平面波图 12.2a)和(b)分别表示了球面波的波振面和平面波的波振面图中带箭头的直线表示波 射线在二维空间波振面退化为线:球面波的波振面退化为一系列同心圆,平面波的波 振面退化为一系列直线 四、描述波动的几个物理量 波速u、波长λ、波的周期T和频率ν是描述波的四个重要物理量这四个物理 量之间存在一定的联系 波速u是单位时间内振动传播的距离波速也就是波面向前推进的速率 波长λ:波在传播过程中沿同一波射线上相位差为2的两个相邻质点的运动状 态必定相同,它们之间的距离为一个波长.(横波、纵波的情况下) 周期T:一个完整的波(即一个波长的波)通过波射线上某点所需要的时间 频率v:频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目 根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义我们不难想象每经过一个周期介 质质点完成一次全振动,同时振动状态沿波射线向前传播了一个波长的距离:在1s内 质点振动了v次振动状态沿波射线向前传播了v个波长的距离,即波速所以 =v入 (12.1) 在固体中横波的波速为 (12.2) 式中G是固体材料的剪切模量,ρ是固体材料的密度.纵波在固体中的传播速率为 (12.3) 式中Y是固体材料的杨氏模量在流体中只能形成和传播纵波,其传播速率可以表示为 l!= 式中B是流体的体变模量,定义为流体发生单位体变需要増加的压强,即 △P 式中负号是由于当压强增大时体积缩小,即△V为负值 式(12.2)、式(123)和式(124)表明,波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性 和惯性,弹性模量是介质弹性的反映密度则是介质质点惯性的反映 说明:因为在一定的介质中波速是恒定的所以波长完全由波源的频率决定:频率
3 面波传播到足够远处,若观察的范围不大,波振面近似为平面,可以认为是平面波.图 12.2(a)和(b)分别表示了球面波的波振面和平面波的波振面,图中带箭头的直线表示波 射线.在二维空间,波振面退化为线：球面波的波振面退化为一系列同心圆,平面波的波 振面退化为一系列直线. 四、描述波动的几个物理量 波速 u、波长λ、波的周期 T 和频率 v 是描述波的四个重要物理量.这四个物理 量之间存在一定的联系. 波速 u 是单位时间内振动传播的距离.波速也就是波面向前推进的速率. 波长λ：波在传播过程中,沿同一波射线上相位差为 2π的两个相邻质点的运动状 态必定相同,它们之间的距离为一个波长.（横波、纵波的情况下） 周期 T：一个完整的波（即一个波长的波）通过波射线上某点所需要的时间 频率 v：频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目. 根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义,我们不难想象,每经过一个周期,介 质质点完成一次全振动,同时振动状态沿波射线向前传播了一个波长的距离；在 1s 内, 质点振动了 v 次,振动状态沿波射线向前传播了 v 个波长的距离,即波速,所以 T u = = （12.1） 在固体中横波的波速为 = G u (12.2) 式中 G 是固体材料的剪切模量,ρ是固体材料的密度.纵波在固体中的传播速率为 = Y u (12.3) 式中 Y 是固体材料的杨氏模量.在流体中只能形成和传播纵波,其传播速率可以表示为 = B u (12.4) 式中 B 是流体的体变模量,定义为流体发生单位体变需要增加的压强,即 V V P B / = − 式中负号是由于当压强增大时体积缩小,即△V 为负值. 式(12.2)、式(12.3)和式(12.4)表明,波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性 和惯性,弹性模量是介质弹性的反映,密度则是介质质点惯性的反映. 说明：因为在一定的介质中波速是恒定的,所以波长完全由波源的频率决定：频率
越高波长越短:频率越低,波长越长而对于频率或周期恒定的波源因为波速与介质有 关,则此波源在不同介质中激发的波的波长又由介质的波速决定 作业(P127):12.10
4 越高,波长越短；频率越低,波长越长.而对于频率或周期恒定的波源,因为波速与介质有 关,则此波源在不同介质中激发的波的波长又由介质的波速决定. 作业(P127):12.10
§122平面简谐波 一般情况下的波是很复杂的但存在一种最简单也是最基本的波这就是当波源作 简谐振动时,所引起的介质各点也作简谐振动而形成的波这种波称为简谐波任何一种 复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成波振面为平面的简谐 波称为平面简谐波以下所讨论的就是这种波 平面简诸波的波函数 假设在各向同性的均匀介质中沿ⅹ轴方向无吸收地传播着一列平面简谐波,在波 射线上取一点O作为坐标原点该波射线就是x轴假设在t时刻处于原点O的质 点的位移可以表示为 yo=A cost 式中A为振幅,ω为角频率这样的振动沿着x轴方向传播,每传到一处,那里的质点将 以同样的振幅和频率重复着原点O的振动现在来考察ⅹ轴上任意一点P的振动情 况,这点位于ⅹ处振动从原点O传播到点P所需要的时间为x在这段时间内点O 振动了wx/次每振动一次相位改变2x,所以点O在这段时间内振动相位共改变了 2πwx/这就是说点P的振动比点O的振动落后了2xwl的相位于是点P的相位 应是ot-2rwh故点P的振动应写为 y=Acoso(t-)=Acos(o t-2TV (12.6) 上式就是沿x轴正方向传播的平面简谐波的表示式称为平面简谐波波函数由、、 T、λ和u诸量之间的关系,平面简谐波波函数还可以表示成另一些形式如 y=Acos o([--)=Acos(o t-2TV Acos2(-)=Acos2r(v-x A cos(o t-kx)=Acos(o t-2I) (127) 入 式中k=2称为波数表示在2m米内所包含的完整波的数 讨论:在简谐波波函数中包含了两个自变量,即x和t 1)当ⅹ一定时,就是对于波射线上一个确定点位移y是t的余弦函数,式(126) 表示了该确定点作简谐振动的情形 2)当t一定时即对于某一确定瞬间,位移y是x的余弦函数式(126)表示了在
5 §12.2 平面简谐波 一般情况下的波是很复杂的,但存在一种最简单也是最基本的波,这就是当波源作 简谐振动时,所引起的介质各点也作简谐振动而形成的波,这种波称为简谐波.任何一种 复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成.波振面为平面的简谐 波称为平面简谐波.以下所讨论的就是这种波. 一、平面简谐波的波函数 假设在各向同性的均匀介质中沿 x 轴方向无吸收地传播着一列平面简谐波,在波 射线上取一点 O 作为坐标原点,该波射线就是 x 轴.假设在 t 时刻处于原点 O 的质 点的位移可以表示为 y = Acost 0 式中 A 为振幅,ω为角频率.这样的振动沿着 x 轴方向传播,每传到一处,那里的质点将 以同样的振幅和频率重复着原点 O 的振动.现在来考察 x 轴上任意一点 P 的振动情 况,这点位于 x 处.振动从原点 O 传播到点 P 所需要的时间为 x/u,在这段时间内点 O 振动了 vx/u 次,每振动一次相位改变 2,所以点 O 在这段时间内振动相位共改变了 2 vx/u.这就是说,点 P 的振动比点 O 的振动落后了 2 vx/u 的相位,于是点 P 的相位 应是t - 2 vx/u.故点 P 的振动应写为 cos ( ) cos( ) u x A t u x y = A t − = − 2 (12.6) 上式就是沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的表示式,称为平面简谐波波函数.由ω、v、 T、λ和 u 诸量之间的关系,平面简谐波波函数还可以表示成另一些形式,如 cos ( ) cos( ) u x A t u x y = A t − = − 2 cos ( ) cos ( ) = − = − x A t x T t A 2 2 cos( ) cos( ) = − = − x A t k x A t 2 (12.7) 式中 k= 2 称为波数,表示在 2π米内所包含的完整波的数目. 讨论：在简谐波波函数中,包含了两个自变量,即 x 和 t . 1）当 x 一定时,就是对于波射线上一个确定点,位移 y 是 t 的余弦函数,式(12.6) 表示了该确定点作简谐振动的情形. 2）当 t 一定时,即对于某一确定瞬间,位移 y 是 x 的余弦函数,式(12.6)表示了在