第10章气体动理论 在本章中我们将从物质的微观结构出发运用统计的方法研究物质最简单的聚集 态——气体的热学性质通过阐述气体的压强、温度、内能等一些宏观量的微观本质, 使我们对于用微观观点研究宏观现象的基本方法有个概略的了解 本章主要内容有:分子动理论的基本观点麦克斯韦速率分布律,玻尔兹曼能量分 布律,理想气体的压强,温度的宏观解释能量均分定理,理想气体的内能,分子的平均自 由程和平均碰撞次数等,并简单介绍气体内的迁移现象和热力学第二定律的统计意义 §101分子动理论的基本观点和统计方法的概念 分子动理论是从物质的微观结构出发来阐明热现象规律的一种理论,那么物质的 微观结构是一种什么样的模型呢?根据大量实验事实的观察可以概括出以下三个基本 观点 分子动理论的基本观点 1、宏观物体是由大量微观粒子一分子(原子)组成 化学性质相同的物质其分子完全一样人们已借助了近代实验仪器和实验方法观察到 某些晶体的原子结构图象,且认识到物质都是由彼此间有一定间隙的分子组成气体很 容易被压缩所以分子间距离比固体、液体分子间的间隙都大.不同物质的分子有大有 小整个看起来分子线度是很小的,宏观系统包括的分子数目是相当多的mo任何物 质包含有602×1023的分子这个常数叫做阿伏伽德罗常数 2、分子之间有相互作用力 固体和液体的分子之所以会聚集到一起而不散开是因为分子之间有相互吸引力 液体和固体很难被压缩,即使是气体当压缩到一定程度后也很难再继续压缩,这些现象 说明分子之间除吸引力外还存在排斥力图10.1 是分子力∫与分子间距离r的关系曲线从图上 可以看出,当分子之间的距离r<n(n约为 1010m左右)时,分子力主要表现为斥力并且随r 的减小,急剧增加,当r=0时,分子力为零 r>r时,分子力主要表现为引力当r继续增大0 到大于10°m时,分子间的作用力就可以忽略不 图10.1 计了可见分子力的作用范围是极小的,分子力属短程力 3、分子都在作无规则运动运动的剧烈程度与物体的温度有关
1 第 10 章 气体动理论 在本章中,我们将从物质的微观结构出发,运用统计的方法研究物质最简单的聚集 态——气体的热学性质.通过阐述气体的压强、温度、内能等一些宏观量的微观本质, 使我们对于用微观观点研究宏观现象的基本方法有个概略的了解. 本章主要内容有：分子动理论的基本观点,麦克斯韦速率分布律,玻尔兹曼能量分 布律,理想气体的压强，温度的宏观解释,能量均分定理,理想气体的内能,分子的平均自 由程和平均碰撞次数等,并简单介绍气体内的迁移现象和热力学第二定律的统计意义. §10.1 分子动理论的基本观点和统计方法的概念 分子动理论是从物质的微观结构出发来阐明热现象规律的一种理论,那么物质的 微观结构是一种什么样的模型呢?根据大量实验事实的观察可以概括出以下三个基本 观点. 一、分子动理论的基本观点 1、宏观物体是由大量微观粒子─分子(原子)组成 化学性质相同的物质,其分子完全一样.人们已借助了近代实验仪器和实验方法,观察到 某些晶体的原子结构图象,且认识到物质都是由彼此间有一定间隙的分子组成,气体很 容易被压缩,所以分子间距离比固体、液体分子间的间隙都大.不同物质的分子有大有 小.整个看起来,分子线度是很小的,宏观系统包括的分子数目是相当多的.1mol 任何物 质包含有 6.02×1023 的分子.这个常数叫做阿伏伽德罗常数. 2、分子之间有相互作用力 固体和液体的分子之所以会聚集到一起而不散开,是因为分子之间有相互吸引力. 液体和固体很难被压缩,即使是气体当压缩到一定程度后也很难再继续压缩,这些现象 说明分子之间除吸引力外还存在排斥力.图 10.1 是分子力 f 与分子间距离 r 的关系曲线.从图上 可以看出,当分子之间的距离 0 r r ( 0 r 约为 10-10m左右)时,分子力主要表现为斥力,并且随 r 的减小, 急剧 增加 ,当 0 r = r 时 , 分子 力为 零. 0 r r 时,分子力主要表现为引力.当 r 继续增大 到大于 10-9m 时,分子间的作用力就可以忽略不 计了.可见分子力的作用范围是极小的,分子力属短程力. 3、分子都在作无规则运动,运动的剧烈程度与物体的温度有关 f 0 r 0 r 图10.1
在室内打开一瓶香水过一段时间就会在整个房间内闻到香味,这是由于分子无规 则运动而产生的扩散现象布朗运动是间接证明液体分子无规则运动的典型例子,且实 验证实液体的温度越高,布朗运动愈剧烈,从而间接说明了液体分子无规则运动愈剧烈 由上述讨论可以看出,物质内部包含的分子数目极多,分子又都时时刻刻地作无规 则运动而且实验还告诉我们,宏观物体的热现象是物质中大量分子无规则运动的集体 表现 由于分子数目巨大分子在运动过程中相互碰撞是极其频繁的,对气体来讲,在通常 温度和压强下,一个分子在1s的时间里大约要经历109次碰撞这样分子的速度在不断 变化要想跟踪每一个分子,对它们列出运动方程,是很困难的也即分子在某一时刻位 于容器中哪一个位置,具有多大速度都具有一定的偶然性这是不是说分子的运动状态 就无规律可寻了呢?我们仔细考察一下可以发现,气体处于平衡时,不管个别分子的运 动状态具有何种偶然性但大量分子的整体表现都是有规律的例如平衡态时容器中各 处的温度、密度、压强这些宏观量都是均匀的,一定的就单个分子的速率(微观量)来说, 有大有小,但速率的平均值是确定的这表明在大量的偶然、无序的分子运动中,包括着 种规律性这种规律性来自大量偶然事件的集合,故称为统计规律.本篇开始已经提到 统计规律在某种意义上就是将微观量和宏观量联系起来的规律.也就是要运用统计方 法求出大量分子的微观量的统计平均值用以解释宏观系统的热的性质.下面,我们就统 计方法的一般概念作以介绍 二、统计方法的一般概念 设想某一系统处在一定的宏观状态但它可以处于不同的微观状态我们要测定系 统的某一物理量M的数值由于系统的微观状态在改变所以M的测定值也是各不 样的把各次实验所测得的M的数值的总和除以实验总次数,就可求得M平均值,实验 次数越多,平均值就越精确所以M的平均值M被定义为 M lim M,M+mN+ N→∞ 式中N是M的值取M的次数即系统处于微观状态A的次数亦即发现系统处于微观状 态A的次数我们把状态A出现的次数NA,与测量的总次数N的比值,在测量次数无限 增加时的极限称为状态A的几率PA作为状态A发生的可能性的量度,即 lim N P 这样平均值就可写成 M=∑MP
2 在室内打开一瓶香水,过一段时间就会在整个房间内闻到香味,这是由于分子无规 则运动而产生的扩散现象.布朗运动是间接证明液体分子无规则运动的典型例子,且实 验证实液体的温度越高,布朗运动愈剧烈,从而间接说明了液体分子无规则运动愈剧烈. 由上述讨论可以看出,物质内部包含的分子数目极多,分子又都时时刻刻地作无规 则运动,而且实验还告诉我们,宏观物体的热现象是物质中大量分子无规则运动的集体 表现. 由于分子数目巨大,分子在运动过程中相互碰撞是极其频繁的,对气体来讲,在通常 温度和压强下,一个分子在 1s 的时间里大约要经历 109 次碰撞.这样分子的速度在不断 变化,要想跟踪每一个分子,对它们列出运动方程,是很困难的.也即分子在某一时刻位 于容器中哪一个位置,具有多大速度都具有一定的偶然性,这是不是说分子的运动状态 就无规律可寻了呢?我们仔细考察一下可以发现,气体处于平衡时,不管个别分子的运 动状态具有何种偶然性,但大量分子的整体表现都是有规律的.例如平衡态时,容器中各 处的温度、密度、压强这些宏观量都是均匀的,一定的,就单个分子的速率(微观量)来说, 有大有小,但速率的平均值是确定的.这表明在大量的偶然、无序的分子运动中,包括着 一种规律性.这种规律性来自大量偶然事件的集合,故称为统计规律.本篇开始已经提到, 统计规律在某种意义上就是将微观量和宏观量联系起来的规律.也就是要运用统计方 法求出大量分子的微观量的统计平均值,用以解释宏观系统的热的性质.下面,我们就统 计方法的一般概念作以介绍. 二、统计方法的一般概念 设想某一系统处在一定的宏观状态,但它可以处于不同的微观状态.我们要测定系 统的某一物理量 M 的数值.由于系统的微观状态在改变,所以 M 的测定值也是各不一 样的.把各次实验所测得的 M 的数值的总和,除以实验总次数,就可求得 M 平均值,实验 次数越多,平均值就越精确.所以 M 的平均值 M 被定义为 N M N M N M A A B B N + + = → lim 式中NA是M的值取MA的次数.即系统处于微观状态A的次数,亦即发现系统处于微观状 态 A 的次数.我们把状态 A 出现的次数 NA,与测量的总次数 N 的比值,在测量次数无限 增加时的极限,称为状态 A 的几率 PA,作为状态 A 发生的可能性的量度,即 N N p A A N → = lim 这样平均值就可写成 M =MiPi
如把系统所有可能状态的几率相加,显然有 ∑P ∑ 这关系称为归一化条件 由于系统的微观状态随时间而变化时这个系统在每一瞬时所取的M值不一定恰 好等于平均值,而是有偏差的这种相对平均值出现偏离的现象,称为涨落现象.这种现 象是统计规律所特有的,但只要个别偶然事件的数目愈多涨落现象就越不显著
3 如把系统所有可能状态的几率相加,显然有 1 1 2 = + + = = N N N N N N P i i i 这关系称为归一化条件. 由于系统的微观状态随时间而变化时,这个系统在每一瞬时所取的 M 值,不一定恰 好等于平均值,而是有偏差的,这种相对平均值出现偏离的现象,称为涨落现象.这种现 象是统计规律所特有的,但只要个别偶然事件的数目愈多,涨落现象就越不显著
§102理想气体的压强公式 理想气体的微观模型 前已谈到,与液体、固体结构比起来气体分子间的平均距离要大得多,如气体凝结 成液体时体积要缩小到大约千分之一,由此可知,分子间距离要缩小到大约十分之 但液体分子几乎是紧密排列的,因此气体分子间的平均距离约为分子本身线度的十倍 而且气体愈稀薄时愈接近理想气体可见理想气体分子之间平均距离要比分子本身线 度大得多此外气体分子无规则运动的另一特征是,分子之间频繁的碰撞,分子的速度 要不断改变大小和方向在此我们说的分子的碰撞实质上是与分子力有关的当两个分 子极为靠近时(约为1010m),表现为斥力,所以两分子在运动中相遇会由于彼此的斥力 而飞开这就是通常所说的分子间发生的“碰撞”当分子相互远离时,斥力迅速减小并 出现引力当两分子间距离进一步增大时(约10°m),引力随之减小直到消失 根据上述这些特点及气体处在平衡态下的压强和温度不随时间改变的事实我们 在物质分子结构的三个基本观点的基础上,进一步提出以下几个基本假设作为理想气 体的微观模型. 1)分子本身的线度与分子间平均距离相比可以忽略不计即将分子看作质点; 2)除碰撞一瞬间外,分子之间、分子与器壁之间无相互作用力; 3)分子间的碰撞以及分子与器壁间的碰撞都是完全弹性的即分子与器壁间的碰 撞只改变分子运动的方向不改变速度的大小,气体分子的动能不因与器壁碰撞而有任 何改变 按照以上三条假设建立起来的理想气体模型可以归结为:理想气体是不停地、无规 则地运动着的大量无引力(假定第二条)的弹性(第三条)质点(第一条)的集合 二、理想气体的压强公式 依据理想气体微观模型,应用牛顿运动定律,采取求统计平均的方法来推导 容器中气体对器壁压强的微观意义应是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果,就 象密集的雨点打在伞上产生的均匀、持续的压力 样具体地说可以将器壁看作一个连续的平面, 器壁所受的压强就等于大量分子在每单位时间内 施予器壁单位面积上的平均冲量 设立方容器边长为l体积为V。容器中贮有N -1 个同类理想气体分子,且处于平衡态分子数密度 为n=N每个分子质量为m,由于平衡态下作用 于器壁各处的压强都是相等的,所以我们可以选 取任何一部分器壁来计算气体的压强就可以了 图10.2
4 §10.2 理想气体的压强公式 一、理想气体的微观模型 前已谈到,与液体、固体结构比起来,气体分子间的平均距离要大得多,如气体凝结 成液体时,体积要缩小到大约千分之一,由此可知,分子间距离要缩小到大约十分之一. 但液体分子几乎是紧密排列的,因此,气体分子间的平均距离约为分子本身线度的十倍. 而且气体愈稀薄时愈接近理想气体.可见理想气体分子之间平均距离要比分子本身线 度大得多.此外,气体分子无规则运动的另一特征是,分子之间频繁的碰撞,分子的速度 要不断改变大小和方向,在此我们说的分子的碰撞,实质上是与分子力有关的.当两个分 子极为靠近时(约为 10-10m),表现为斥力,所以两分子在运动中相遇会由于彼此的斥力 而飞开.这就是通常所说的分子间发生的“碰撞”.当分子相互远离时,斥力迅速减小并 出现引力,当两分子间距离进一步增大时(约 10-9m),引力随之减小直到消失. 根据上述这些特点及气体处在平衡态下的压强和温度不随时间改变的事实,我们 在物质分子结构的三个基本观点的基础上,进一步提出以下几个基本假设作为理想气 体的微观模型. 1）分子本身的线度与分子间平均距离相比可以忽略不计,即将分子看作质点; 2）除碰撞一瞬间外 ,分子之间、分子与器壁之间无相互作用力; 3）分子间的碰撞以及分子与器壁间的碰撞都是完全弹性的,即分子与器壁间的碰 撞只改变分子运动的方向,不改变速度的大小,气体分子的动能不因与器壁碰撞而有任 何改变. 按照以上三条假设建立起来的理想气体模型可以归结为:理想气体是不停地、无规 则地运动着的,大量无引力(假定第二条)的弹性(第三条)质点(第一条)的集合. 二、理想气体的压强公式 依据理想气体微观模型,应用牛顿运动定律,采取求统计平均的方法来推导 容器中气体对器壁压强的微观意义应是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果,就 象密集的雨点打在伞上产生的均匀、持续的压力 一样.具体地说,可以将器壁看作一个连续的平面, 器壁所受的压强就等于大量分子在每单位时间内 施予器壁单位面积上的平均冲量. 设立方容器边长为 l,体积为 V。容器中贮有 N 个同类理想气体分子,且处于平衡态.分子数密度 为 n=N/V,每个分子质量为 m,由于平衡态下,作用 于器壁各处的压强都是相等的,所以我们可以选 取任何一部分器壁来计算气体的压强就可以了
现在来计算与ⅹ轴相垂直的器壁A1面所受的压强如图102所示 首先考虑速度为υ的a分子,在直角坐标系的投影为 U2UD2且u2+v2+2=2.当a分子和器壁A面碰撞时,它受到A面对它沿与x 轴方向相反的作用力在这个力作用下,a分子在ⅹ轴上的动量由mU变成-mU,它在 ⅹ方向的动量增量为(-mυ、)-m、=2mυ、,也就等于器壁施予a分子的冲量(动量定 理)根据牛顿第三定律,a分子同时也给予A1面一个大小相等方向相反的,数值为 2mυ的冲量.分力给予器壁的力其方向沿x轴正向.a分子对器壁的力是间歇的,是不 连续的就α分子沿轴的运动情况而论它被A1面以-弹回后飞向面A2,与A2碰撞后 又以u3回到A面再作碰撞,分子与A1面相继两次碰撞在x轴方向上移动的距离为 2/所需时间为2/,因此在单位时间内,a分子与面碰撞的次数为υ、21,作用于A1面 的总冲量为2mU.υ./2,这也就是a分子作用于A1面的冲力的平均值 以上讨论的是一个分子对A1面的碰撞,但实际上容器内有大量分子对壁A1面碰撞 使壁A1面受到一个几乎连续不断的力这个力的大小应等于每个分子作用在A1面上的 力的平均值之和即 F=21 2 υ1+2mn)2x2l 2 式中υυ2…,υx分别是第一、第二、…、第N个分子速度在ⅹ轴上的投影,则 A1面所受压强则为 F P=,=(2m +2m,D+…+2m)/P2=m(u2+ P=Mmin+0+…+ux1 (10.1) 式中括弧内的物理量表示容器内N个分子沿x轴的速度分量的平方平均值,即 >U 同理有:u2 及
5 现在来计算与 x 轴相垂直的器壁 A1 面所受的压强.如图 10.2 所示. 首 先 考 虑 速 度 为 的 α 分 子 , 在 直 角 坐 标 系 的 投 影 为 x、y、z 2 2 2 2 且 x +y +z = 。当α分子和器壁A1面碰撞时,它受到A1面对它沿与 x 轴方向相反的作用力.在这个力作用下,α分子在 x 轴上的动量由 mx 变成- mx , 它在 x 方向的动量增量为（- mx ）- mx =-2 mx ,也就等于器壁施予α分子的冲量(动量定 理).根据牛顿第三定律,α分子同时也给予 A1 面一个大小相等方向相反的,数值为 2 mx 的冲量. 分力给予器壁的力,其方向沿 x 轴正向.α分子对器壁的力是间歇的,是不 连续的.就α分子沿轴的运动情况而论,它被 A1 面以-x 弹回后飞向面 A2,与 A2 碰撞后, 又以 x 回到 A1 面再作碰撞,α分子与 A1 面相继两次碰撞在 x 轴方向上移动的距离为 2l,所需时间为 2l/ x ,因此,在单位时间内,α分子与面碰撞的次数为 x /2l,作用于 A1 面 的总冲量为 2 mx x /2l,这也就是α分子作用于 A1 面的冲力的平均值. 以上讨论的是一个分子对A1面的碰撞,但实际上容器内有大量分子对壁A1面碰撞, 使壁A1面受到一个几乎连续不断的力,这个力的大小应等于每个分子作用在A1面上的 力的平均值之和.即 l m l m l F m Nx Nx x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 + + + = 式中 1x，2x，，Nx 分别是第一、第二、…、第 N 个分子速度在 x 轴上的投影,则 A1 面所受压强则为 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 l l m l m l m l F P Nx Nx x x x x ( )/ + + + = = ( ) 2 2 2 2 1x x Nx V m = + ++ 或 [ ] V N Nm P x x Nx 2 2 2 2 1 + + + = (10.1) 式中括弧内的物理量表示容器内 N 个分子沿 x 轴的速度分量的平方平均值,即 N N N i ix x x Nx x = = + + + = 1 2 2 2 2 2 2 1 N N N i iz z N i iy y = = = = 1 2 1 2 2 同理有： 2 及