解答题(共30小题) 1.(泰安模拟)妪图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的 垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且 AF=CE (1)求证:四边形ACEF是平行四边形 (2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请回答 并证明你的结论 NC 考菱形的判定;线段垂直平分线的性质;平行四边形的判 点:定 专证明题 题 分(1)ED是BC的垂直平分线,根据中垂线的性质:中 析:垂线上的点线段两个端点的距离相等,则EB=EC,故有 ∠3=∠4,在直角三角形ACB中,∠2与∠4互余,∠1与 ∠3互余,则可得到AE=CE,从而证得ACE和△EFA都 是等腰三角形,又因为FD⊥BC,AC⊥BC,所以AC FE,再根据内错角相等得到AF‖CE,故四边形ACEF是 第11页共56
第 11 页 共 56 页 一．解答题（共 30 小题） 1．（ 泰安模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的 垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且 AF=CE． （1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形； （2）当∠B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请回答 并证明你的结论． 考 点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判 定．菁优网版权所有 专 题： 证明题． 分 析： （1）ED 是 BC 的垂直平分线，根据中垂线的性质：中 垂线上的点线段两个端点的距离相等，则 EB=EC，故有 ∠3=∠4，在直角三角形 ACB 中，∠2 与∠4 互余，∠1 与 ∠3 互余，则可得到 AE=CE，从而证得△ACE 和△EFA 都 是等腰三角形，又因为 FD⊥BC，AC⊥BC，所以 AC∥ FE，再根据内错角相等得到 AF∥CE，故四边形 ACEF 是
平行四边形; (2)由于△ACE是等腰三角形,当∠1=60时△ACE是 等边三角形,有AC=EC,有平行四边形ACEF是菱形 解解:(1)∵ED是BC的垂直平分线 答∷EB=EC,ED⊥BC, ∵,∠3=∠4, ∠ACB=90°, ∴FEAC, ,∠1=∠5, ∠2与∠4互余,∠1与∠3互余 ∠1=∠2, AE=CE 又∵AF=CE, ACE和△EFA都是等腰三角形, ∴∠5=∠F, ∠2=∠F 在△EFA和△ACE中 ∠5=∠1 ∠F=∠2, ∴△EFA△ACE(AAS), ∠AEC=∠EAF ∴AFCE 第12页共56
第 12 页 共 56 页 平行四边形； （2）由于△ACE 是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE 是 等边三角形，有 AC=EC，有平行四边形 ACEF 是菱形． 解 答： 解：（1）∵ED 是 BC 的垂直平分线 ∴EB=EC，ED⊥BC， ∴∠3=∠4， ∵∠ACB=90°， ∴FE∥AC， ∴∠1=∠5， ∵∠2 与∠4 互余，∠1 与∠3 互余 ∴∠1=∠2， ∴AE=CE， 又∵AF=CE， ∴△ACE 和△EFA 都是等腰三角形， ∴∠5=∠F， ∴∠2=∠F， ∴在△EFA 和△ACE 中 ∵ ， ∴△EFA≌△ACE（AAS）， ∴∠AEC=∠EAF ∴AF∥CE
四边形ACEF是平行四边形 (2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.证明如下 ∴∠B=30°,∠ACB=90 ∴∠1=∠2=60 ∴∠AEC=60° AC=EC ∵平行四边形ACEF是菱形 B NC 点本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等 评:边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱 形的判定求解,有利于学生思维能力的训练.涉及的知 识点有:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.(福建模拟)已知:如图,在ΔABC中,D、E分别是 AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE 连接CF 求证:四边形BCFE是菱形 第13页共56
第 13 页 共 56 页 ∴四边形 ACEF 是平行四边形； （2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形．证明如下： ∵∠B=30°，∠ACB=90° ∴∠1=∠2=60° ∴∠AEC=60° ∴AC=EC ∴平行四边形 ACEF 是菱形． 点 评： 本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等 边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱 形的判定求解，有利于学生思维能力的训练．涉及的知 识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．（ 福建模拟）已知：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE， 连接 CF． 求证：四边形 BCFE 是菱形．
考菱形的判定 点 专证明题 题 分由题意易得,EF与BC平行且相等,∴四边形BCFE是 析:平行四边形.又EF=BE,∴四边形BCFE是菱形 解解:BE=2DE,EF=BE 答∷EF=2DE.(1分) D、E分别是AB、AC的中点, ∴BC=2DE且DEBC.(2分) ∴EF=BC.(3分) 又EFBC, ∴四边形BCFE是平行四边形.(4分) 又EF=BE, 四边形BCFE是菱形.(5分) 点此题主要考查菱形的判定,综合利用了平行四边形的性 评:质和判定 第14页共56
第 14 页 共 56 页 考 点： 菱形的判定．菁优网版权所有 专 题： 证明题． 分 析： 由题意易得，EF 与 BC 平行且相等，∴四边形 BCFE 是 平行四边形．又 EF=BE，∴四边形 BCFE 是菱形． 解 答： 解：∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=2DE．（1 分） ∵D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴BC=2DE 且 DE∥BC．（2 分） ∴EF=BC．（3 分） 又 EF∥BC， ∴四边形 BCFE 是平行四边形．（4 分） 又 EF=BE， ∴四边形 BCFE 是菱形．（5 分） 点 评： 此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性 质和判定．
3.(深圳一模)如图,四边形ABCD中,ABCD,AC 平分∠BAD,CEⅢAD交AB于E (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理 由 考菱形的判定与性质 点 专几何图形问题 题 分(1)利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形,进 析:而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形 (2浰用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可 得两组角相等,进而证明∠ACB为直角即可 解解:(1): ABIICD,CEAD, 答∷四边形AECD为平行四边形,∠2=∠3, 又∵AC平分∠BAD, 1=∠2 ∠1=∠3 第15页共56
第 15 页 共 56 页 3．（ 深圳一模）如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交 AB 于 E． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若点 E 是 AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理 由． 考 点： 菱形的判定与性质．菁优网版权所有 专 题： 几何图形问题． 分 析： （1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进 而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形； （2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可 得两组角相等，进而证明∠ACB 为直角即可． 解 答： 解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD， ∴四边形 AECD 为平行四边形，∠2=∠3， 又∵AC 平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3