月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式:(1)3 v5 (2)y'y+x'y. 3) y8 y 合探2.如图,在R△ABC中,∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm 求AB的长 因此AB的长为65cm 质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下! 、应用拓展 观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式: 11×(√2-1)√2-1 √2+1(2+1)(2-1) 1×(3-2)-2 √3+√2(3 同理可得: √4.√3 4+√ 从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算 )(√2002+1)的值 √+13+√4+√√002+√2001 析:由题意可知,本题所给的是一组分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以达到化简的目的 四、归纳小结(师生共同归纳):本节课应掌握:最简二次根式的概念及其运用 五、作业设计(写在小黑板上 (一)、选择题 1.如果x(y>0)是二次根式,那么,化为最简二次根式是() (y∞0)B.J(y∞0)c.yx(y>0)D.以上都不对 2.把(a1)1中根号外的(a1)移入根号内得() A.a-1B.√-ac.-√a-1D.√-a 3.在下列各式中,化简正确的是() √5 ±1c.ab=√bD.√-x2=√kx-1 4.化简-3互的结果是()A..√:B √2 (二)、填空题 1.化简 第11页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 11 页 共 93 页 B A C 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 合探 1. 把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 5 3 12 ; (2) 2 4 4 2 x y x y + ; (3) 2 3 8x y 合探 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm， 求 AB 的长． AB= 2 2 2.5 6 + = 5 169 169 13 2 ( ) 36 2 4 2 4 + = = = =6.5（cm） 因此 AB 的长为 6.5cm． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 1 2 1+ = 1 ( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 − − = + − − = 2 -1， 1 3 2 + = 1 ( 3 2) 3 2 ( 3 2)( 3 2) 3 2 − − = + − − = 3 - 2 ， 同理可得： 1 4 3 + = 4 - 3 ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 1 2 1+ + 1 3 2 + + 1 4 3 + +…… 1 2002 2001 + ）（ 2002 +1）的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．如果 x y （y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A． x y （y>0） B． xy （y>0） C． xy y （y>0） D．以上都不对 2．把（a-1） 1 a 1 − − 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A． a −1 B． 1− a C．- a −1 D．- 1− a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A． 5 3 =3 15 B． 1 2 =± 1 2 2 C． 4 a b =a 2 b D． 3 2 x x − =x x −1 4．化简 3 2 27 − 的结果是（ ） A．- 2 3 ； B．- 2 3 ； C．- 6 3 ； D．- 2 （二）、填空题 1．化简 4 2 2 x x y + =_________．（x≥0）
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 2.aa+1化简二次根式号后的结果是 (三)、综合提高题 已知a为实数,化简:√-a32a,工,阅读下面的解答过程,请判断是否正确?若不正确,·请写出正 确的解答过程: 2.若x、y为实数,且y=√x2-4y4-x2+1,求√x+yx-y的值 六、反思及感想: 2.3二次根式的加减(1) 教学内容:二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法 重难点关键:1.重点:二次根式化简为最简根式 2.难点关键:会判定是否是最简二次根式 教学过程: 设疑自探一一解疑合探 自探(学生活动):计算下列各式 (1)2√2+3y:(2)2√83√+53:(3)V7+2√+3√9×7:(4)332√+ 因此,二次根式的被开方数相同是可以合并的,如2√2与√8表面上看是不相同的,但它们可以合并吗? 可以的(板书)3√2+=√+2√=√2和3√3+√27=3√+3√3=63 所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,·再将被开方数相同的二次根式进行合并 合探1.计算:(1) √8+√h8 (2) 16x+√64x 分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式:第二步,将相同的最简二次根式进行合并 合探2.计算 第12页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 12 页 共 93 页 2．a 2 a 1 a + − 化简二次根式号后的结果是_________． （三）、综合提高题 1．已知 a 为实数，化简： 3 −a -a 1 a − ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，• 请写出正 确的解答过程： 解： 3 −a -a 1 a − =a −a -a· 1 a −a =（a-1） −a 2．若 x、y 为实数，且 y= 2 2 4 4 1 2 x x x − + − + + ，求 x y x y + − 的值． 六、反思及感想： 22.3 二次根式的加减(1) 教学内容 ： 二次根式的加减 教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法． 重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程： 一、设疑自探——解疑合探 自探（学生活动）：计算下列各式． （1）2 2 +3 2 ；（2）2 8 -3 8 +5 8 ；（3） 7 +2 7 +3 9 7 ；（4）3 3 -2 3 + 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 2 与 8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？ 可以的．（板书）3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 2 和 3 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，• 再将被开方数相同的二次根式进行合并． 合探 1．计算：（1） 8 + 18 （2） 16x + 64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 合探 2．计算
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 (1)3√489+3h2(2)(√48+√20)+(√125) 质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下! 三、应用拓展 已知4+246+0=0,求(2xx+2x):(x2,5x,)的值 x 分析:本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x-1)2+(y-3)2=0 即x=一,y=3.其次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,·再合并同类二次 根式,最后代入求值 四、归纳小结(师生共同归纳):本节课应掌握 (1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式 (2)相同的最简二次根式进行合并 五、作业设计(写在小黑板上) (一)、选择题 .以下二次根式:①12,②√2:③,④27中,与√是同类二次根式的是( A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④ 2.下列各式:O3√3+3=6√3 =1:③√+√6==√:④√4=√2,其中错误的 有() A.3个B.2个C.1个D.0个 (二)、填空题 在,3,3,2524,302、2中,与是同类三根式的有 2.计算二次根式5√a-3 √b 7√a+9√b的最后结果是 (三)、综合提高题 已知√=2,.求(√)、+45)的值、结果精确到00 先化简,再求值 (6x+Vm3).(4x|x+√36xy),其中x=3,y=27 六、反思及感想 第13页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 13 页 共 93 页 （1）3 48 -9 1 3 +3 12 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展 已知 4x2+y2 -4x-6y+10=0，求（ 2 9 3 x x +y2 3 x y ）-（x 2 1 x -5x y x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0， 即 x= 1 2 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，• 再合并同类二次 根式，最后代入求值． 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握： （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．以下二次根式：① 12 ；② 2 2 ；③ 2 3 ；④ 27 中，与 3 是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①3 3 +3=6 3 ；② 1 7 7 =1；③ 2 + 6 = 8 =2 2 ；④ 24 3 =2 2 ，其中错误的 有（ ）． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 （二）、填空题 1．在 8 、 1 75 3 a 、 2 9 3 a 、 125 、 2 3 3a a 、3 0.2 、-2 1 8 中，与 3a 是同类二次根式的有 ________． 2．计算二次根式 5 a -3 b -7 a +9 b 的最后结果是________． （三）、综合提高题 1．已知 5 ≈2.236，求（ 80 - 4 1 5 ）-（ 1 3 5 + 4 45 5 ）的值．（结果精确到 0.01） 2．先化简，再求值． （6x y x + 3 3 xy y ）-（4x x y + 36xy ），其中 x= 3 2 ，y=27． 六、反思及感想：
2014年9月 22.3二次根式的加减(2) 教学内容:利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标:运用二次根式、化简解应用题 重难点关键:讲清如何解答应用题既是本节课的重点,又是本节课的难点、关键点 教学过程 设疑自探—一解疑合探 上节课,我们已经学习了二次根式如何加减的问题,我们把它归为两个步骤:第一步,先将二次根式化成最 简二次根式:第二步,再将被开方数相同的二次根式进行合并,下面我们研究三道题以做巩固 自探1.如图所示的Rt△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒 的速度向点A移动;同时,点Q也从点B开始沿BC边以2厘米秒的速度向点C移动 几秒后△PBQ的面积为35平方厘米?PQ的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示) Q 分析:设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米,那么PB=x,BQ=2x,·根据三角形面积 公式就可以求出ⅹ的值 解:设x后△PBQ的面积为35平方厘米.则有PB=x,BQ=2x 依题意,得:x.2x35x235x=√35 所以√35秒后△PBQ的面积为35平方厘米 PQ=√PB2+BQ2=√x2+4x2=√5x2=√×35=5√7 答:√35秒后△PBQ的面积为35平方厘米,PQ的距离为5√7厘米 自探2.要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材(精确到0.1m)? 第14页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 14 页 共 93 页 22.3 二次根式的加减(2) 教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题． 重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程： 一、设疑自探——解疑合探 上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最 简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固． 自探 1．如图所示的 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/• 秒 的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动．问： 几秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，• 根据三角形面积 公式就可以求出 x 的值． 解：设 x 后△PBQ 的面积为 35 平方厘米． 则有 PB=x，BQ=2x 依题意，得： 1 2 x·2x=35 x 2=35 x= 35 所以 35 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米． PQ= 2 2 2 2 2 PB BQ x x x + = + = = 4 5 5 35 =5 7 答： 35 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5 7 厘米． 自探 2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 解:由勾股定理,得AB=√AD2+BD2=V42+22=20=2√ BC=√BD2+CD2=√2+=√ 所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2√+√5+5+2=3√+7≈3×2247≈17m 答:要焊接一个如图所示的钢架,大约需要137m的钢材.) 质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下 四、应用拓展 若最简根式34a+3b与根式√2ab2-b3+6b2是同类二次根式,求a、b的值 注:(·同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式) 分析:同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同:·事实上,根式 √2ab2-b3+6b2不是最简二次根式,因此把√2ab2-b3+62化简成时·√2a-b+6,才由同类二次 根式的定义得3a·b=·2,2ab+6=4a+3b 解:首先把根式√ab2-b+6b2化为最简二次根式 √2ab2-b2+6b2=√b(a-1+6)=·√2a=b+6 由题意得』4a+3b=2a-b+6 2a+4b=6∴a=1,b=1 3a-b=2 五、归纳小结(师生共同归纳):本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、作业设计(写在小黑板上) (一)、选择题 1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为() √2 D.以上都不对 2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框,·为了增加其稳定性,他沿长方形的对角线 又钉上了一根木条,木条的长应为()米 B.√1300 √3 (二)、填空题 1.某地有一长方形鱼塘,已知鱼塘的长是宽的2倍,它的面积是1600m2,·鱼塘的宽是 2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为√2,·那么这个等腰直角三角形的周长是 (三)、综合提高题 .若最简二次根式2m7-2与4m2-10是同类二次根式,求m、m的值 2.同学们,我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根 ,那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方,如3=(√3)2, 5=(√5)2,你知道是谁的二次根式呢?下面我们观察 第15页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 15 页 共 93 页 解：由勾股定理，得 AB= 2 2 2 2 AD BD + = + = 4 2 20 =2 5 BC= 2 2 2 2 BD CD + = + 2 1 = 5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 5 + 5 +5+2 =3 5 +7≈3×2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材．） 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 若最简根式 3 4 3 a b a b − + 与根式 2 3 2 2 6 ab b b − + 是同类二次根式，求 a、b 的值． 注：（• 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；• 事实上，根式 2 3 2 2 6 ab b b − + 不是最简二次根式，因此把 2 3 2 2 6 ab b b − + 化简成|b|· 2 6 a b − + ，才由同类二次 根式的定义得 3a-• b=• 2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式 2 3 2 2 6 ab b b − + 化为最简二次根式： 2 3 2 2 6 ab b b − + = 2 b a (2 1 6) − + =|b|· 2 6 a b − + 由题意得 4 3 2 6 3 2 a b a b a b + = − + − = ∴ 2 4 6 3 2 a b a b + = − = ∴a=1，b=1 五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5，那么斜边的长应为（ ）． A．5 2 B． 50 C．2 5 D．以上都不对 2．小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框，• 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线 又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米． A．13 100 B． 1300 C．10 13 D．5 13 （二）、填空题 1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍，它的面积是 1600m2，• 鱼塘的宽是_______m． 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为 2 ，• 那么这个等腰直角三角形的周长是________． （三）、综合提高题 1．若最简二次根式 2 2 3 2 3 m − 与 2 1 2 4 10 n m − − 是同类二次根式，求 m、n 的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式 a 2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根 式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3 ）2， 5=（ 5 ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：