第22章二次根式 22.1二次根式 教学目标 1、了解二次根式的概念 2、掌握二次根式的基本性质、 教学过程 、提出问题 上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义,引进了一个新的记号a,现在请同学 们思考并回答下面两个问题: 1、√a表示什么? 2、a需要满足什么条件?为什么? 二、合作交流,解决问题 让学生合作交流,然后回答问题(可以补充),归纳为 1、当a是正数时,√a表示a的算术平方根,即正数a的两个平方根中的一个正数 2、当a是零时,√a表示零,也叫零的算术平方根 3、a≥0,因为任何一个有理数的平方都大于或等于零 三、归纳特点,引入二次根式概念 1、基本性质、 问题1你能用一句话概括以上3个结论吗? 让一个学生回答、其他学生补充,概括为:√a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也 就是说,√a(a≥0)是一个非负数,即√≥0(a≥0) 问题2(a)(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证 让学生小组讨论或自主探索得出结论:(ay=a(a≥0),如√V4y2=4,N2}=2等、 以上两个问题的结论就是基本性质,特别是(a)2=a(a≥0)可以当公式使用,直接应用 于计算。反过来,把(a2=a(a≥0)写成a=()(a≥0)的形式,这说明:任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如:3=(3),0.3=(03)2 提问 (1)=(V对不对 (2)-5=(√-5}对不对如果不对,错在哪里? 2、二次根式概念 形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式 说明:二次根式必须具备以下特点; (1)有二次根号 (2)被开方数不能小于0。 让学生举出二次根式的几个例子,并判断 (a<0)、 a(a<o)是不是 二次根式 四、范例 例1、要使式子-1有意义,字母x的取值必须满足什么条件? 提问: 若将式子√-1改为h-x,则字母x的取值必须满足什么条件? 五、课堂练习
第 22 章 二次根式 22.1 二次根式 教学目标 1、了解二次根式的概念、 2、掌握二次根式的基本性质、 教学过程 一、提出问题 上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学 们思考并回答下面两个问题： 1、 a 表示什么? 2、a 需要满足什么条件?为什么? 二、合作交流，解决问题 让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为； 1、当 a 是正数时， a 表示 a 的算术平方根，即正数 a 的两个平方根中的一个正数； 2、当 a 是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根； 3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、 三、归纳特点，引入二次根式概念 1、基本性质、 问题 1 你能用一句话概括以上 3 个结论吗? 让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，也 就是说， a (a≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。 问题 2 ( a ) 2 (a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。 让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a ) 2=a(a≥0)，如( 4 ) 2=4，( 2 ) 2=2 等、 以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a ) 2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用 于计算。反过来，把( a ) 2＝a(a≥0)写成 a=( a ) 2 (a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数 a 都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 ) 2，0.3= ( 0.3 ) 2 提问： (1)0=( 0 ) 2 对不对? (2)－5=( －5 ) 2 对不对?如果不对，错在哪里? 2、二次根式概念 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、 说明:二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于 0。 让学生举出二次根式的几个例子，并判断 －5 ， a (a<0)、 3 a 、 －a (a<o)是不是 二次根式。 四、范例 例 1、要使式子 x－1 有意义，字母 x 的取值必须满足什么条件? 提问： 若将式子 x－1 改为 1－x ，则字母 x 的取值必须满足什么条件? 五、课堂练习
P0页练习1、2、 六、思考提高 我们已经研究了(a(a≥0)等于a,现在研究√等于什么 提问 1、对于抽象问题的研究,常常采用什么策略? 2、在中,a的取值有没有限制? 3、取一些数值来验证。通过验证,你能发现什么规律 因此,今后我们遇到2时,可先改写成a的绝对值|a|,再按照a取正数值,0还 是负数值来取值、例如当x0时,√6x2=14x|=-4 4、(√a)2与园a是一样的吗?说说你的理由,并与同学交流 七、小结 1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗? 2、二次根式有哪两个形式上的特点? 3、二次根式有哪些性质? 八、作业 习题22.1第1、2、3、4题、 教学后记
Pl0 页练习 1、2、 六、思考提高 我们已经研究了( a ) 2 (a≥0)等于 a，现在研究 a 2 等于什么、 提问： 1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略? 2、在 a 2 中，a 的取值有没有限制? 3、取一些数值来验证。通过验证，你能发现什么规律？ 因此，今后我们遇到 a 2 时，可先改写成 a 的绝对值｜a｜，再按照 a 取正数值，0 还 是负数值来取值、例如当 x<0 时， 16x2 ＝｜4x｜＝－4x 4、( a ) 2 与 a 2 是一样的吗?说说你的理由，并与同学交流。 七、小结 1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗? 2、二次根式有哪两个形式上的特点? 3、二次根式有哪些性质? 八、作业 习题 22.1 第 1、2、3、4 题、 教学后记：
222二次根式的乘除法 第一课时二次根式的乘除法 教学目标 1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘法运算 2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式 3、培养学生合情推理能力。 教学过程 、复习提问 1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式,哪些不是二次根式? 130 2、二次根式有哪些性质?计算下列各题 0.52√144(V万)2√-5 二、提出问题,导入新知 1、试一试 计算:(1)×√25=()=( (2)√16×9=( 16×9=(=() 提问:观察以上计算结果,你能发现什么? V×√与2×3是否相等? 提问:(1)你将用什么方法计算? 2)通过计算,你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样? 概括 让学生观察以上计算结果、归纳得出结论:√axb=axb(a≥0,b≥0) 注意,a,b必须都是非负数,上式才能成立。 举例应用 例1、计算 V6 2 说明:二次根式运算的结果,应该尽量化简、如(2)结果不要写成6,而应化简成4 等式√x6=axb(a≥0,b≥0),也可以写成ab=√axb(a≥0,b≥0) 利用它可以进行二次根式的化简,例如:√ab=axb=Va)√=a2b 例2、化简 说明:(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方,可以利用积的 算术平方根的性质,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简:(2)在化简时,一般 先将被开方数进行因式分解或因数分解,然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用 它们的算术平方根代替,移到根号外,也就是开出方来 四、课堂练习
22.2 二次根式的乘除法 第一课时 二次根式的乘除法 教学目标 1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。 2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式、 3、培养学生合情推理能力。 教学过程 一、复习提问 1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式? 160 －130 3 27 a 2、二次根式有哪些性质?计算下列各题： (0.5) 2 144 ( 7 ) 2 (－5) 2 二、提出问题，导入新知 1、试一试 计算： (1) 4 × 25 ＝( )＝( ) 4×25 =( )=( ) (2) 16 × 9 =( )=( ) 16×9 =( )=( ) 提问：观察以上计算结果，你能发现什么? 2、思考 2 × 3 与 2×3 是否相等? 提问：(1)你将用什么方法计算? (2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样? 3、概括 让学生观察以上计算结果、归纳得出结论： a × b = a×b (a≥0，b≥0) 注意，a，b 必须都是非负数，上式才能成立。 三、举例应用 例 1、计算。 7 × 6 1 2 × 32 说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成 16 ，而应化简成 4。 等式 a × b = a×b (a≥0，b≥0)，也可以写成 ab ＝ a × b (a≥0，b≥0) 利用它可以进行二次根式的化简，例如： a 4b = a 4 × b = (a 2 ) 2 b =a2 b 例 2、化简 12 4a3 说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的 算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简；(2)在化简时，一般 先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用 它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。 四、课堂练习
1、计算下列各式,将所得结果化简 N3a x\iSa 2、P12页练习1(1)、(2)、2 五、想一想 ax√bxVl与Va·b·c是否相等2a、b、c有什么限制请举一个例子加以说明。 2、√a·b·c等于ax6x吗? 3、化简: 六、小结 这节课我们学习了以下知识: 1、二次根式的乘法运算法则,即√×√b=·b(a≥0,b≥0) 2、积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积,即a b=④×√b(a≥0, b≥0)…) 要特别注意,以上(1)、(2)中,a、b必须都是非负数,如果a、b中出现了负数,等式就 不成立、想一想,√(-4)×(-9)=-4x√-9成立吗?为什么? 3、应用(1)、(2)进行计算和化简,在计算和化简中,复习了性质=a(a≥0),加深 了对非负数a的算术平方根的性质的认识、 七、作业 习题22.2第2、(1),(2)题,第3、(1)、(2)题、第4题 教学后记
1、计算下列各式，将所得结果化简： 3 × 6 3a × 15a 2、P12 页练习 1(1)、(2)、2 五、想一想 1、 a × b × c 与 a·b·c 是否相等?a、b、c 有什么限制?请举一个例子加以说明。 2、 a·b·c 等于 a × b × c 吗? 3、化简： 4a4bc4 六、小结 这节课我们学习了以下知识： 1、二次根式的乘法运算法则，即 a × b ＝ a·b (a≥0，b≥0) 2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即 a·b ＝ a × b (a≥0， b≥0)……) 要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b 必须都是非负数，如果 a、b 中出现了负数，等式就 不成立、想一想， (－4)×(－9) ＝ －4 × －9 成立吗?为什么? 3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质 a 2 ＝a(a≥ 0)，加深 了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识、 七、作业 习题 22.2 第 2、(1)，(2)题，第 3、(1)、(2)题、第 4 题 教学后记：
第二课时二次根式的乘除法 教学目标 1、使学生掌握二次根式的除法运算法则,会用它进行简单的二次根式的除 法运算。 2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。 3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、 4。经历探索二次根式的除法运算法则过程,培养学生的探究精神和合作交 流的习惯 教学过程 、创设问题情境 问题1上一节课,我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则? 问题2是否也有二次根式的除法法则呢? 问题2两个二次根式相除,怎样进行呢? 、加强合作,探索规律 让抽象的问题具体化,这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参 考二次根式的乘法法则的研究,分组讨论两个二次根式相除,会有什么结论,并 提出你的见解,然后其他小组同学补充,归纳为: 提问 a和b有没有限制?如果有限制,其取值范围是什么 2、V=6(a≥0,b50)成立吗为什么请举例 三、范例 例1、计算。 15 教学要求:(1)对于(1)可由教师解答示范:(2)对于(2)可由学生自己计算。 提问: 1、除了课本中的解答外,是否还有其他解法?如果有,请给出另外解法。 2、哪种方法更简便? 例2、化简:(要求分母不带根号) 说明:二次根式的化简要求满足以下两条: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方数不含分母”。 (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被开方数的每一个 因数或因式的指数都小于2”。 把一个二次根式化简的具体方法是:化去根号下的分母;并把被开方数中能 开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。 四、做一做
第二课时 二次根式的乘除法 教学目标 1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除 法运算。 2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。 3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、 4。经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交 流的习惯。 教学过程 一、创设问题情境 问题 l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则? 问题 2 是否也有二次根式的除法法则呢? 问题 2 两个二次根式相除，怎样进行呢? 二、加强合作，探索规律 让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参 考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并 提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为： b a ＝ b a 提问： 1、a 和 b 有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么? 2、 b a ＝ b a (a≥0，b>0)成立吗?为什么?请举例。 三、范例 例 1、计算。 3 15 3 24 教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范；(2)对于(2)可由学生自己计算。 提问： 1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。 2、哪种方法更简便? 例 2、化简 2 1 ：(要求分母不带根号) 说明：二次根式的化简要求满足以下两条： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。 (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个 因数或因式的指数都小于 2”。 把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能 开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。 四、做一做