2014年9月 22.1.二次根式(1) 教学内容:二次根式的概念及其运用 教学目标:1、理解二次根式的概念,并利用√a(a≥0)的意义解答具体题目 2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键:1.重点:形如√(a≥0)的式子叫做二次根式的概念 2.难点与关键:利用“√a(a≥0)”解决具体问题 教学过程:一、回顾 当a是正数时,√a表示a的算术平方根,即正数a的正的平方根 当a是零时,√a等于0,它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根 当a是负数时,√a没有意义 概括:√a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,√a(a≥0)是一个非负数,它的平 方等于a.即有:(1)√a≥0(a≥0) 2)(√a)2=a(a≥0) 形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式 注意:在二次根式√a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数 题讲解 例题:x是怎样的实数时,二次根式√x-1有意义? 分析要使二次根式有意义,必须且只须被开方数是非负数 被开方数x-1≥0,即ⅹ≥1 所以,当x≥1时,二次根式√x-1有意义 思考:√a2等于什么? 我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,……分别计算对应的a2的值,看看有什么规律: 概括:当a≥0时, =a 当a<0时,Va=-a 这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方,运用这个性质,可以将它“开 方”出来,从而达到化简的目的.例如: 4x2=√(2x)2=2x(x≥0) 四、练习:x取什么实数时,下列各式有意义 )3-4x,a23x-2,(3)√x-3),,√3x-4+√4-3x 五、拓展 第1页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 1 页 共 93 页 22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ a （a≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当 a 是正数时， a 表示 a 的算术平方根，即正数 a 的正的平方根． 当 a 是零时， a 等于 0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当 a 是负数时， a 没有意义． 二、概括： a （a≥0）表示非负数 a 的算术平方根，也就是说， a （a≥0）是一个非负数，它的平 方等于 a．即有： （1） a ≥0（a≥0）； （2） 2 ( a ) =a（a≥0）． 形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式 a 中，字母 a 必须满足 a≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式 x −1 有意义？ 分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数 x-1≥0，即 x≥1． 所以，当 x≥1 时，二次根式 x −1 有意义． 思考： 2 a 等于什么？ 我们不妨取 a 的一些值，如 2，-2，3，-3，……分别计算对应的 a2 的值，看看有什么规律： 概括: 当 a≥0 时， a = a 2 ； 当 a＜0 时， a = −a 2 ． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开 方”出来，从而达到化简的目的．例如： 2 2 4x = (2x) =2x（x≥0）； 4 2 2 2 x = (x ) = x ． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1） 3 − 4x ； （2） 3x − 2 ； （3） 2 (x − 3) ； （4） 3x − 4 + 4 − 3x 五、 拓展
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 例:当x是多少时,√2x+3+在实数范围内有意义? 分析:要使√2x+3+在实数范围内有意义,必须同时满足√2x+3 中的x+1≠0 x+1 2x+3≥0 依题意,得 x+1≠0 由①得:x≥- 由②得:x≠-1 当x≥.且x≠1时,√2 x+3+ 数范围内有意义 例:(1)已知y=√2-x+√x-2+5,求一的值.(答案2) (2若√a+1+√b-1=0,求a0+bm的值.(答案:2) 六、归纳小结(学生活动,老师点评)本节课要掌握 1.形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式 称为二次根号 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数 七、布置作业:教材P4:1、2 八、反思及感想: 22.1二次根式(2) 教学内容:1 (a≥0)是一个非负数 2.(√a)2=a(a≥0) 教学目标:1、理解√a(a≥0)是非负数和(√a)2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简 2、通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出√a(a≥0)是一个非负数,用具体数据结合 算术平方根的意义导出(√a)=a(a≥0):最后运用结论严谨解题 教学重难点关键:1.重点:a(a≥0)是一个非负数:(√a)=a(a≥0)及其运用 2.难点、关键:用分类思想的方法导出√G(a≥0)是一个非负数:用探究的方法导出(√G) 2=a(a≥0) 教学过程:一、复习引入(学生活动)口答 1.什么叫二次根式? 2.当a≥0时,√G叫什么?当a0时,√G有意义吗? 第2页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 2 页 共 93 页 例：当 x 是多少时， 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义？ 分析：要使 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义，必须同时满足 2 3 x + 中的≥0 和 1 x +1 中的 x+1≠0． 解：依题意，得 2 3 0 1 0 x x + + 由①得：x≥- 3 2 由②得：x≠-1 当 x≥- 3 2 且 x≠-1 时， 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义． 例：(1)已知 y= 2 − x + x − 2 +5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若 a +1 + b −1 =0，求 a 2004+b2004的值．(答案: 2 5 ) 六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材 P4：1、2 八、反思及感想： 22.1 二次根式（2） 教学内容：1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）． 教学目标：1、理解 a （a≥0）是非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合 算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键：1．重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；• 用探究的方法导出（ a ） 2=a（a≥0）． 教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当 a≥0 时， a 叫什么？当 a<0 时， a 有意义吗？
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 二、探究新知 议一议:(学生分组讨论,提问解答) (a≥0)是一个什么数呢? 老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出 (a≥0)是一个非负数 做一做:根据算术平方根的意义填空: √4 √0 老师点评:①、√4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义, ②、√4是一个平方等于4的非负数,因此有(√4)2=4 同理可得:(√)2=2,(√)2=9,(3)2=3,( )=27,(√)4=,所以√ (a≥0) 三、例题讲解 例1计算:1.(A)2 2.(3√5) 分析:我们可以直接利用(√a)2=a(a≥0)的结论解题 解 √ )2=32·(√5)2=-32·5=4 √7、,(7)27 66 四、巩固练习 计算下列各式的值: 6)、)635-(55 五、应用拓展 例2计算 a2+2a+1 2x+9 分析:(1)因为x≥0,所以x+1>0 (2)a2≥0: (3)a2+2a+1=(a+1)≥0 第3页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 3 页 共 93 页 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；（ 9 ）2=______；（ 3 ）2=_______； （ 1 3 ）2=______；（ 7 2 ）2=_______；（ 0 ）2=_______． 老师点评：①、 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， ②、 4 是一个平方等于 4 的非负数，因此有（ 4 ）2=4． 同理可得：（ 2 ）2=2，（ 9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（ 1 3 ）2= 1 3 ，（ 7 2 ）2= 7 2 ，（ 0 ）2=0，所以 ：（ a ） 2 = a（a ≥ 0） 三、例题讲解 例 1 计算： 1．（ 3 2 ）2 ， 2．（3 5 ）2 ， 3．（ 5 6 ）2 ， 4．（ 7 2 ）2 分析：我们可以直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题． 解：1. （ 3 2 ）2 = 3 2 ， 2.（3 5 ）2 =32·（ 5 ）2=32·5=45， 3.（ 5 6 ）2= 5 6 ， 4.（ 7 2 ）2= 2 2 ( 7) 7 2 4 = ． 四、巩固练习 计算下列各式的值： （ 18 ）2 （ 2 3 ）2 （ 9 4 ）2 （ 0 ）2 （4 7 8 ）2 2 2 (3 5) (5 3) − 五、应用拓展 例 2 计算 1．（ x +1 ）2（x≥0），2．（ 2 a ）2 ，3．（ 2 a a + + 2 1 ）2 ，4．（ 2 4 12 9 x x − + ）2 分析：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0； （2）a 2≥0； （3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 (4)4x2-12x+9=(2x)22·2x·3+32=(2x-3)2≥0. 所以上面的4题都可以运用(√a)-=a(a≥0)的重要结论解题 解:(1)因为x≥0,所以x+1>0.,(√x+1)2=x+1 (2)∵a≥0,∴(√a2)2=a2 (3)∵a2+2a+1=(a+1)2,又∵(a+1)2≥0, a2+2a+1≥0, (4)∵4x2-12x+9=(2x)22·2x·3+32=(2x3)2,又∵(2x-3)2≥0 4x.12x+9≥0,…∴(√4x2-12x+9)2=4x212x+9 例3在实数范围内分解下列因式 (1)x2-3(2)x4-4 (3)2x23 六、归纳小结:本节课应掌握 (a≥0)是一个非负数 2.(√a)=a(a≥0);反之:a=(√a)2(a≥0) 七、布置作业:教材P4:3、4 八、反思及感想 22.1二次根式(3) 教学目标:1、理解 √a2 =a(a≥0)并利用它进行计算和化简 2、通过具体数据的解答,探究√a2=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题 教学重难点关键:1.重点:a2=a(a≥0) 2.难点:探究结论 3.关键:讲清a≥0时,√a2=a才成立 教学过程:一、复习引入:(老师口述并板收上两节课的重要内容) 1.形如 √a (a≥0)的式子叫做二次根式 (a≥0)是一个非负数 3.(√a)2=a(a≥0) 那么,我们猜想当a≥0时, a是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题 二、探究新知:(学生活动)填空 第4页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 4 页 共 93 页 （4）4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0,（ x +1 ）2=x+1 （2）∵a 2≥0，∴（ 2 a ）2=a2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0， ∴a 2+2a+1≥0 ，∴ 2 a a + + 2 1 =a2+2a+1 （4）∵4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2 -12x+9≥0，∴（ 2 4 12 9 x x − + ）2=4x2 -12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x 2 -3 （2）x 4 -4 (3) 2x2 -3 六、归纳小结：本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）． 七、布置作业：教材 P4：3、4 八、反思及感想： 22.1 二次根式（3） 教学内容 2 a ＝a（a≥0） 教学目标：1、理解 2 a =a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 2、 通过具体数据的解答，探究 2 a =a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键：1．重点： 2 a ＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清 a≥0 时， 2 a ＝a 才成立． 教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容） 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式； 2． a （a≥0）是一个非负数； 3．( a ) 2＝a（a≥0）． 那么，我们猜想当 a≥0 时， 2 a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 √0012 (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到 012=001:y10 1 因此,一般地:Va2=a(a≥0) 例题讲解 例1化简:(1) (-4)2 √25(4)√-3)2 分析:因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32 所以都可运用√a2=a(a≥0)·去化简 解:(1)√=√3=3(2√-4)2=V42=4 (3)√25 2 =5(4)√(-3) 巩固练习:(见小黑板) 五、应用拓展 例2填空:当a≥0时,√a2 当a<0时 Vas ·并根据这一性质回答下列问题 (1)若 a,则a可以是什么数?(2)若 a,则a可以是什么数? (3)√la2>a,则a可以是什么数? =a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“()2” 中的数是正数,因为,当a≤0时, a=√(-a) ,那么-a≥0 (1)根据结论求条件:(2)根据第二个填空的分析,逆向思想:(3)根据(1)、(2)可知 a|要大于a,只有什么时候才能保证呢?a<0 解:(1)因为√a2=,所以a≥0:(2)因为√a2=a,所以a≤0 (3)因为当a≥0时√口2=,要使√a2>,即使心a所以a不存在:当0时,√a2=,要使a 即使-a>a,a<0综上,a<0 例3当x>2,化简√(x-2 第5页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 5 页 共 93 页 2 2 =_______； 2 0.01 =_______； 1 2 ( ) 10 =______； 2 2 ( ) 3 =________； 2 0 =________； 3 2 ( ) 7 =_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2 2 =2； 2 0.01 =0.01； 1 2 ( ) 10 = 1 10 ； 2 2 ( ) 3 = 2 3 ； 2 0 =0； 3 2 ( ) 7 = 3 7 ． 因此，一般地： 2 a =a（a≥0） 三、例题讲解： 例 1 化简：（1） 9 （2） 2 ( 4) − （3） 25 （4） 2 ( 3) − 分析：因为（1）9=-3 2，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32， 所以都可运用 2 a =a（a≥0）• 去化简． 解：（1） 9 = 2 3 =3 （2） 2 ( 4) − = 2 4 =4 （3） 25 = 2 5 =5 （4） 2 ( 3) − = 2 3 =3 四、巩固练习：（见小黑板） 五、应用拓展 例 2 填空：当 a≥0 时， 2 a =_____；当 a<0 时， 2 a =____，• 并根据这一性质回答下列问题． （1）若 2 a =a，则 a 可以是什么数？ （2）若 2 a =-a，则 a 可以是什么数？ （3） 2 a >a，则 a 可以是什么数？ 分析：∵ 2 a =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2” 中的数是正数，因为，当 a≤0 时， 2 a = 2 ( ) −a ，那么-a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 2 a =│a│，而 │a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为 2 a =a，所以 a≥0； （2）因为 2 a =-a，所以 a≤0； （3）因为当 a≥0 时 2 a =a，要使 2 a >a，即使 a>a 所以 a 不存在；当 a<0 时， 2 a =-a，要使 2 a >a， 即使-a>a，a<0 综上，a<0 例 3 当 x>2，化简 2 ( 2) x − - 2 (1 2 ) − x ．