2014年9月 √212=(√2)22·1·√2+2=22√2+1=32 反之,32√=2+=√12:2=(√12:√3-2= 求:(1) √3+2V,(2)√+23,(3)你会算4-V2吗? (4)若√a±2b=√m±√后,则m、n与a、b的关系是什么?并说明理由 六、反思及感想 22.3二次根式的加减(3) 教学内容:含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除:多项式与单项式相乘、相除:多项式与多项式相乘、相 除:乘法公式的应用 教学目标:1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 重难点关键:1、重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律 2、难点关键:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 设疑自探一一解疑合探 自探1.(学生活动):请同学们完成下列各题 1.计算:(1)(2x+y)·a (2)(2xy+3xy2)÷xy 2.计算:(1)(2x+y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)·单项式×单项式:(2)单项式×多项 式:(3)多项式÷单项式:(4)完全平方公式:(5)平方差公式的运用 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?·仍成立 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,·当然也可以代表二次根式,所 ,整式中的运算规律也适用于二次根式 自探2计算:(1)(√6+√8)× √3 √63√2)÷2√2 分析:刚才己经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,·所以直接可用整式的运算规律 自探3.计算:(1)(√5+6)(3-√5)(2)(√0+√7)(√10 分析:刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 二、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下! 三、应用拓展:已知x-b=2-x-a,其中a、b是实数,且a+b≠0 化简√x+1-√x+√x+1+√x,并求值 x+1+√x 分析:由于(√x+1+√x)(√x+1.√x)=,因此对代数式的化简,可先将分母有理化,再通过解含 有字母系数的 次方程得到x的值,代入化简得结果即可 第16页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 16 页 共 93 页 （ 2 -1）2=（ 2 ）2 -2·1· 2 +1 2=2-2 2 +1=3-2 2 反之，3-2 2 =2-2 2 +1=（ 2 -1）2 ∴3-2 2 =（ 2 -1）2 ∴ 3 2 2 − = 2 -1 求：（1） 3 2 2 + ； （2） 4 2 3 + ；（3）你会算 4 12 − 吗？ （4）若 a b 2 = m n ，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由． 六、反思及感想： 22.3 二次根式的加减(3) 教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相 除；乘法公式的应用． 教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探 1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y）·zx （2）（2x 2 y+3xy2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）• 单项式×单项式；（2）单项式×多项 式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？• 仍成立． 整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，• 当然也可以代表二次根式，所 以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 自探 2.计算：（1）（ 6 + 8 ）× 3 （2）（4 6 -3 2 ）÷2 2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，• 所以直接可用整式的运算规律． 自探 3. 计算：（1）（ 5 +6）（3- 5 ） （2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知 x b a − =2- x a b − ，其中 a、b 是实数，且 a+b≠0， 化简 1 1 x x x x + − + + + 1 1 x x x x + + + − ，并求值． 分析：由于（ x +1 + x ）（ x +1- x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含 有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可．
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 解:原式 (√x+1+√x√x+1-√x)( (√x+1+√x) 厂:1 x+1+√x ) =(x+1)+x2√x(x+1)+x+2yx(x+1)=4x+2 (x+1)-x (x+1) x x-d b(x-b)=2ab-a (x-a) bx-b-=2ab-ax+a (atb) xe=a+2ab+b (a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0 =a+b ∵.原式=4x+2=4(a+b)+2 四、归纳小结(师生共同归纳):本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 五、作业设计(写在小黑板上) (一)、选择题 .(√2435+2,2)×√2的值是() √33√30B.330.2√3 √3.√30 3 3 2.计算(√x+√x-1)(√x-√x-1)的值是().A.2B.3c.4D.1 (二)、填空题 1.(.1+√3)2的计算结果(用最简根式表示)是 2.(1233)(1+2√3).(2√31)2的计算结果(用最简二次根式表示) 1,则x2+2x+1= 4.已知a=3+2√,b=32√2,则aba 三)、综合提高题 1.化简 √5+√ √ho+√n4+√5+√21 232一时,求x+1+√2+x,x+1-√+x的值《结果用最简二次根式表示) +xx+1+√x2+x 六、反思及感想 231一元二次方程 教学目标 1、知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)2、在分析 揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世 界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点: 1.一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数” 2.理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 第17页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 17 页 共 93 页 解：原式= 2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) x x x x x x + − + + + − + 2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) x x x x x x + + + − + + = 2 ( 1 ) ( 1) x x x x + − + − + 2 ( 1 ) ( 1) x x x x + + + − =（x+1）+x-2 x x( 1) + +x+2 x x( 1) + =4x+2 ∵ x b a − =2- x a b − ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b 2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a 2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．（ 24 -3 15 +2 2 2 3 ）× 2 的值是（ ）． A． 20 3 3 -3 30 B．3 30 - 2 3 3 C．2 30 - 2 3 3 D． 20 3 3 - 30 2．计算（ x + x −1 ）（ x - x −1 ）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1 （二）、填空题 1．（- 1 2 + 3 2 ）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（1-2 3 ）（1+2 3 ）-（2 3 -1）2 的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若 x= 2 -1，则 x 2+2x+1=________． 4．已知 a=3+2 2 ，b=3-2 2 ，则 a 2 b-ab2=_________． （三）、综合提高题 1．化简 5 7 10 14 15 21 + + + + 2．当 x= 1 2 1− 时，求 2 2 1 1 x x x x x x + + + + − + + 2 2 1 1 x x x x x x + − + + + + 的值．（结果用最简二次根式表示） 六、反思及感想： 23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 0 2 ax + bx + c = （ a ≠0）2、在分析、 揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世 界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 教学过程: 1.问题 绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长 比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少? 分析:设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程 x(x+10)=900 整理可得 x2+10x-900=0 2.问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到72万册求这两年的年平均增长率 解:设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x)万 册:同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x)(+x)=5(1+x)2万册可列得方程 5(1+x)2=7.2, 整理可得 5x2+10x-22= (2) 3.思考、讨论 这样,问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元一次方程那么这两个方程与 元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢? (学生分组讨论,然后各组交流)共同特点:(1)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的 最高次数是2 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程)通常可 写成如下的一般形式 ax2+bx+c=0a、b、c是已知数,a≠0)。其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数:bx叫做一次项,b叫做 次项系数,C叫做常数项 例题讲解与练习巩固 1.例1下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由 x-2 (1)3x+2=5x-3 (3)x+1-1 (4) 4=(x+2) 2.例2将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项: 2)(x-2)(x+3)=8 3) (x+33x-4)=(x+2) 元二次方程的一般形式ax2+x+C=0(a≠0)具有两个特征:一是方程的右边为0:二是左边 的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号 的 3.例3方程(2a4)x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方 程? 本题先由同学讨论,再由教师归纳 解:当a≠2时是一元二次方程:当a=2,b≠0时是一元一次方程 4.例4已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2,求m。 分析:一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程 5.练习一将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 第18页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 18 页 共 93 页 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 900 平方米的一块长方形绿地，并且长 比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为 x 米，不难列出方程 x(x＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x－900=0. （1） 2．问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为 x，我们知道，去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 5（1＋x）万 册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即 5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x）2=7.2, 整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题 1 和问题 2 分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的 最高次数是 2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可 写成如下的一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c 是已知数，a≠0)。 其中 2 ax 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做 一次项系数， c 叫做常数项。. 三、 例题讲解与练习巩固 1．例 1 下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 （1） 3x + 2 = 5x −3 （2） 4 2 x = （3） 2 1 1 2 x x x − = + − （4） 2 2 x − 4 = (x + 2) 2．例 2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 1） y = y 2 6 2）（x-2）(x+3)=8 3） 2 (x + 3)(3x − 4) = (x + 2) 说明： 一元二次方程的一般形式 0 2 ax + bx + c = （ a ≠0）具有两个特征：一是方程的右边为 0；二是左边 的二次项系数不能为 0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号 的。 3．例 3 方程（2a—4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方 程？ 本题先由同学讨论，再由教师归纳。 解：当 a ≠2 时是一元二次方程；当 a ＝2，b ≠0 时是一元一次方程； 4．例 4 已知关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0 有一根为 2，求 m。 分析：一根为 2 即 x=2,只需把 x=2 代入原方程。 5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 2x2=2-3x2x13x5+4(2y-)2-+1)=(+3y-2) 练习二关于x的方程(m-3)x2+mx+m=0 在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次 本课小结: 1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程 2、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+C=0(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的, 这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。 在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性 布置作业:课本第27页习题1、2、3 2322一元二次方程的解法 教学目标: 1、会用直接开平方法解形如 (a≠0,ab≥0)的方程 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换远方法 重点难点: 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一元二次方程无实根的解题过程。 教学过程 问:怎样解方程 (x+1)=256 让学生说出作业中的解法,教师板书。 解:1、直接开平方,得x+1=±16 所以原方程的解是x1=15,x2=-17 2、原方程可变形为 +1)-256=0 方程左边分解因式,得 (x+1+16)(x+1-16=0 即可(x+17)(x-15=0 所以x+17=0,x-15=0 原方程的蟹x1=15,x2=-1 二、例题讲解与练习巩固 1、例1解下列方程 (1)(x+1)2-4=0 (2)12(2-x)2-9=0 分析两个方程都可以转化为(x-k)2=b (a≠0ab≥0) 的形式,从而用直接开平方法求解 解(1)原方程可以变形为 直接开平方,得 第19页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 19 页 共 93 页 2x 2 3x 2 = − 2x(x-1)=3(x-5)-4 (2 1) ( 1) ( 3)( 2) 2 2 y − − y + = y + y − 练习二 关于 x 的方程 ( 3) 0 2 m − x + nx + m = ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次 方程？ 本课小结： 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为 0 2 ax + bx + c = （ a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的， 这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。 3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。 布置作业：课本第 27 页习题 1、2、3 23.2.2 一元二次方程的解法 教学目标： 1、会用直接开平方法解形如 a x − k = b 2 ( ) （a≠0,ab≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 重点难点： 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。 教学过程： 问：怎样解方程 ( ) 2 x + = 1 256 的？ 让学生说出作业中的解法，教师板书。 解：1、直接开平方，得 x+1=±16 所以原方程的解是 x1＝15，x2＝－17 2、原方程可变形为 ( ) 2 x + − = 1 256 0 方程左边分解因式，得 （x+1+16）(x+1－16)=0 即可（x+17）(x－15)=0 所以 x＋17=0，x－15=0 原方程的蟹 x1＝15，x2＝－17 二、例题讲解与练习巩固 1、例 1 解下列方程 （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分 析 两个方程都可以转化为 a x − k = b 2 ( ) （a≠0,ab≥0） 的形式，从而用直接开平方法求解. 解 （1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得 x＋1＝±2
月亮湾中学九年级数学备课组 2014年9月 所以原方程的解是x1=1,x2=-3 原方程可以变形为 有 所以原方程的解是x 2、说明:(1)这时,只要把(x+1)看作一个整体,就可以转化为x2=b(b≥0)型的方法去解决,这里体现 了整体思想。 3、练习一解下列方程 (1)(x+2)2-16=0 (2)(x-12-18=0: (3)(1-3x)2=1 (4)(2x+3)-25=0. 四、讨论、探索:解下列方程 (1)(x+2)=3(x+2 (2)2y(y-3)=9-3y (3)(x-2) (4)(2x+1)2=(x-1)2 (5)x2-2x+1=49 本课小结 、对于形如a(x-k)=b(a≠0ab≥0)的方程,只要把(x-k)看作一个整体,就可转化为x2=n 0)的形式用直接开平方法解。 2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法解。 布置作业:课本第37页习题1(5、6)、P38页习题2(1、2) 2323一元二次方程的解法 教学目标 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程 2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。 3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能。 重点难点 使学生掌握配方法,解一元二次方程 把一元二次方程转化为(x+p)=q 教学过程 、复习提问 解下列方程,并说明解法的依据: (2) 通过复习提问,指出这三个方程都可以转化为以下两个类型: x2=b(b20)和(x-a)=b(b≥0 根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果b<0,方程就没有实数解 第20页共93页
月亮湾中学九年级数学备课组 2014 年 9 月 第 20 页 共 93 页 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3. 原方程可以变形为 ________________________， 有 ________________________. 所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________. 2、说明：（1）这时，只要把 (x +1) 看作一个整体，就可以转化为 x = b 2 （ b ≥0）型的方法去解决，这里体现 了整体思想。 3、练习一 解下列方程： （1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0. 三、读一读 四、讨论、探索：解下列方程 （1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 — x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2 （5） 2 1 49 2 x − x + = 。 本课小结： 1、对于形如 a x − k = b 2 ( ) （a≠0,a b ≥0）的方程，只要把 (x − k) 看作一个整体，就可转化为 x = n 2 （n ≥0）的形式用直接开平方法解。 2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。 布置作业：课本第 37 页习题 1（5、6）、P38 页习题 2（1、2） 23.2.3 一元二次方程的解法 教学目标： 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程． 2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。 3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。 重点难点： 使学生掌握配方法，解一元二次方程。 把一元二次方程转化为 x + p = q 2 ( ) 教学过程： 一、复习提问 解下列方程，并说明解法的依据： （1） 2 3 2 1 − = x （2） ( ) 2 x + − = 1 6 0 （3） ( ) 2 x − − = 2 1 0 通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型： ( ) ( ) ( ) 2 2 x b b x a b b = − = 0 0 和 根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果 b < 0，方程就没有实数解