v(r, t) dr ∫wvr;odr 若 v(r, tdr=A2 则归一化的波函数为 qp(r,t)=,v(r,t)(可差一相因子e,δ为实数) A 这时p(r,t)d才代表在r-r+dr区域中 发现粒子的概率
若 则归一化的波函数为 （可差一相因子 ， 为实数） 这时 才代表在 区域中 发现粒子的概率。 2 2 ∫ ψ = (r, t) dr A 1 (r,t) (r,t) A ϕ =ψ iδ e δ 2 ϕ(r, t) dr r r dr − + 2 2 (r, t) dr (r', t) dr' ψ ψ∫
例: lot (r,t)=e2 --+iot ∫v(r,t)dr=∫ e 2a at 2a r-drdQ r ear2dr·4兀 pta 3
例： i t 2a r (r,t) e ω ψ − − = ∫ ψ = ∫ ⋅ Ω − − ω − + ω (r,t) dr e e r drd i t a r i t a r 2 2 2 2 = ∫ ⋅ π ∞ − 4 2 0 e r dr a r 3 = 8πa
所以,归一化的波函数为 ---iot op(r, t) e 2a (8a 而在0-0+dr中的概率为 2 rdr∫(r1 sin Dedo= rodr ∫ ea sin dodo 8πa
所以，归一化的波函数为 而在 中的概率为 i t a r e ( a ) ( r , t ) − − ω π ϕ = 2 3 1 2 8 1 r r dr 0 − 0 + θ θ φ π ∫ ϕ θ φ θ θ φ = ∫ − e sin d d a r dr r dr ( r , , , t ) sin d d a r0 3 2 2 0 0 2 0 8
ea·dr 2a 在0-00+d0中的概率为 2 P(r,00,o, t) sin 0odOrdrdd= sin Oode ∫e ar drdo 81 ga sin ende 2a32兀 8兀a o SIn eode
在 中的概率为 0 2 r 0 a 3 r e dr 2a − = ⋅ θ 0 − θ 0 + d θ r 2 2 2 a 00 0 3 1 (r, , , t) sin d r drd sin d e r drd 8 a − ϕ θ φ θ θ φ= θ θ φ π ∫ ∫ ⋅ ⋅ π π = θ θ 2 a 2 8 a 1 sin d 3 0 3 = sin θ d θ 2 1 0
在￠-+φ中的概率为 dojo(r,0,o, t) 2 drain ede d e ar-drsin Ade 8πa 2a3.2 8πa 2兀 当然,也可计算X0-X0+dx中的概率 ∫@(x0,y,z,t) dxdydz dxe a dvd 8兀a X=X0
在 中的概率为 当然，也可计算 中的概率 φ 0 − φ 0 + d φ θ θ π φ φ ∫ ϕ θ φ θ θ = ∫ − e r dr sin d a d d ( r , , , t ) r dr sin d a r 2 3 2 2 0 8 2 2 8 3 3 ⋅ π φ = a a d φ π = d 2 1 x 0 − x 0 + dx 3 0 2 0 8 1 x x a r dx e dydz a ( x , y , z , t ) dxdydz = − ∫ ∫ π ϕ =