复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）连续铸造中的应用模型

模型的建立 如图2所示:在型腔内取一柱壳 的微元体,其内半径为ⅹ,厚为 dx,高为dy,因湿度是空间函数 故微元体固定在空间上的其内 能是不随的问变化的 (1)于整体运动从上面传入 微元体的能量为 d@ =ve2rac'tdx

模型的建立 如图2 所示: 在型腔内取一柱壳 的微元体, 其内半径为x , 厚为 dx , 高为dy,因温度是空间函数, 故微元体固定在空间上时, 其内 能是不随时间变化的. (1)由于整体运动, 从上面传入 微元体的能量为 dQ ve'2 xc'Tdx 1 = 

而相应地从微元体底面传出的能量为 OT d@,'=ve2ndxc'lT+ (2)通过热传导从微元体上面传入的能量 OT 而相应地从微元体底面传出的能量 OT aaT cO,=-k2兀 ayay、oy

而相应地从微元体底面传出的能量为 dy y T dQ v e dxc T           1 ' = '2 ' + (2) 通过热传导从微元体上面传入的能量 而相应地从微元体底面传出的能量 dx y T dQ k x   2 = − '2 dy dx y T y y T dQ k x                   +   2 ' = − '2

(3)由内壁沿径向传入微元体的能量是 OT dQ3=-k2mxdy°oy 而相应地从微元体沿径向传出的能量 oT aT d@3=-h2T(x+dx dy dx 由于微元体的内能变化量是零,传入微元体的 能量应等于传出微元体的能量,故有能量平衡 方程式 d9+(2+d3=9'+Q2+9

(3) 由内壁沿径向传入微元体的能量是 而相应地从微元体沿径向传出的能量 由于微元体的内能变化量是零, 传入微元体的 能量应等于传出微元体的能量, 故有能量平衡 方程式 y T dQ k xdy   3 = − '2 •           +   = − + dx x T x T dQ k x dx dy 2 2 3 ' '2( ) ' ' ' dQ1 + dQ2 + dQ3 = dQ1 +dQ2 +dQ3

把前面所得各项等式代入上式,略去高阶项并整理 得出椭圆形偏微分方程: 02T82T10TT a r ox 求解区域为矩形,其中v k 以连铸球铁管为例,取定拉速=1.92cm/s;有效比热 c=0.119ca/gC;有效密度e'=7.0969g/cm3;有效 传热系数k′=0.05 cal/cm s°C由上述数据得 W=32.299941/cm,可见在合金成分一定时,W只是拉 管速度的函数

把前面所得各项等式代入上式, 略去高阶项并整理 得出椭圆形偏微分方程: 求解区域为矩形,其中 以连铸球铁管为例, 取定拉速v = 1. 92cm/s; 有效比热 c′= 0. 119cal/g℃; 有效密度e′= 7. 0969g/cm 3; 有效 传热系数k′=0.05cal/cm s℃由上述数据得 w = 32. 299941/cm , 可见在合金成分一定时,w 只是拉 管速度的函数. 0 1 2 2 2 2 =   −   +   +   y T w x T y x T x T ' ' ' k vc e w =