4.1.1有序对的概念 定义412一个有序n元组m23是一个有序对,其中 第一个元素是一个有序n1元组.一个有序n元组记作 〈X1x2,…xn〉,即 n-1 有序3元组〈Xy,z)可以表示为(〈x,y〉,z〉,同样 具有特点(〈xy)〉,z)=〈(u,v),W)的充分必要条件是 xy)={u,v),z=W,即xu,y=V,z=W例如,空间直 角坐标系中点的坐标〈1,-1,3〉,〈2,4.5,0〉等都是有序3 元组n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组 形式上也可以把〈x)看成有序1元组,只不过这里的 顺序性没有什么实际意义以后提到有序n元组,其中的n 可以看成任何的正整数
4.1.1 有序对的概念 定义4.1-2 一个有序n元组(n≥3)是一个有序对，其中 第一个元素是一个有序n-1元组.一个有序n元组记作 〈x1 ,x2 ,…,xn〉，即 〈x1 ,x2 ,…,xn〉=〈〈x1 ,…,xn-1〉,xn〉. 有序3元组〈x,y,z〉可以表示为〈〈x,y〉,z〉，同样 具有特点〈〈x,y〉,z〉=〈〈u,v〉,w〉的充分必要条件是 〈x,y〉=〈u,v〉,z=w，即x=u，y=v，z=w.例如，空间直 角坐标系中点的坐标〈1,-1,3〉,〈2,4.5,0〉等都是有序3 元组.n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组. 形式上也可以把〈x〉看成有序1元组，只不过这里的 顺序性没有什么实际意义.以后提到有序n元组，其中的n 可以看成任何的正整数
4.1.2笛卡儿积 定义4.1-3设A、B为两个集合,称由 A中元素为第一个元素,B中元素为第二个 元素的所有有序对组成的集合为A与B的笛 卡儿积,记作A×B符号化表示为 A×B={Xy〉|∈AAy∈B}
4.1.2 笛卡儿积 定义4.1-3 设A、B为两个集合，称由 A中元素为第一个元素，B中元素为第二个 元素的所有有序对组成的集合为A与B的笛 卡儿积，记作A×B.符号化表示为 A×B={〈x,y〉|x∈A∧y∈B}
4.1.2笛卡儿积 有穷集合的笛卡儿积运算满足下述性质 1)若A、B中有一个是空集,则它们的笛卡儿积是 空集,即 A×B=A×B= (2)当A#B且A、B都不是空集时,有A×B#B×A 3)当A、B、C都不是空集时,有 (A×B)×C={〈〈a,b〉,C)‖〈a,b)∈A×B)(C∈C)}, A×(B×C)气〈a,(b,C)〉|(a∈A)∧(〈b,C〉∈B×C)}, 由于(a,(b,c〉〉不是有序3元组,(A×B)×C≠ A×(B×C 如果A、B、C中有一个是空集,那么上面式子的左右 两边都是空集这条性质说明笛卡儿积运算不适合结合律
4.1.2 笛卡儿积 有穷集合的笛卡儿积运算满足下述性质： （1）若A、B中有一个是空集，则它们的笛卡儿积是 空集，即 A×B=A×B=φ . （2）当A≠B且A、B都不是空集时，有A×B≠B×A. （3）当A、B、C都不是空集时，有 (A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}， A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}， 由于〈a,〈b,c〉〉不是有序3元组， (A×B)×C ≠ A×(B×C). 如果A、B、C中有一个是空集，那么上面式子的左右 两边都是空集.这条性质说明笛卡儿积运算不适合结合律
4.1.2笛卡儿积 (4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律,即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C), (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A), A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), (BnC)×A=(B×An(C×A)
4.1.2 笛卡儿积 （4）笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)， (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)， A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
4.1.2笛卡儿积 定义41-4设A1,A2,,A为n个集合(n≥2),称集合 A1×A2×…×A={(X,x2,…,xn〉kX∈A,=1,2…,n} 为n阶笛卡儿积当A1=A2=.=A=A时,记A生成的n阶笛卡 儿积为An 设A1A2,…,An均为有限集合,并设A|=n1=1,2,…,n, 则A1×A2×,×An=n×n2×…×nn n维笛卡儿积的性质与二维笛卡儿积的性质类似,这里 不再赘述
4.1.2 笛卡儿积 定义4.1-4 设A1 ,A2 ,…,An为n个集合(n≥2)，称集合 A1×A2×…×An={〈x1 ,x2 ,…,xn〉|xi∈Ai ,i=1,2,…,n} 为n阶笛卡儿积.当A1=A2=…=An=A时，记A生成的n阶笛卡 儿积为An . 设A1 ,A2 ,…,An均为有限集合，并设|Ai |=ni ,i=1,2,…,n， 则|A1×A2×…×An |=n1×n2×…×nn . n维笛卡儿积的性质与二维笛卡儿积的性质类似，这里 不再赘述