5)m=max(ui l≤i<n (6)ifmk-m<E或mk-mb/(+m)< e then输 出mk2yv(=1,2,…,m)2停止计算; (7)mb=mk;k=k+l;返回第3步
5) max( ); 1 i i n mk u = (6) if − mk m0 或 − (1+ ) mk m0 mk then 输 出m ,v (i 1,2, ,n), k i = 停止计算； (7) ; 1; m0 = mk k = k + 返回第 3 步
例7.11试用幂法求矩阵 73-2 A=34-1 2-13 按模最大的特征值和相应的特征向量(E=103)。 解由算法7.1.1得计算结果如表71.1所示
例 7.1.1 试用幂法求矩阵 = - 2 -1 3 3 4 -1 7 3 - 2 A 按模最大的特征值和相应的特征向量( 10 ) −5 = 。 解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示
表71.1例71.1计算结果 k k k 01.0000001.0000001.0001000,1.0000,1.0000001.000000 18000006.00000.000001.00000,0.750000,0.0000008.000000 29.250000.6000000-2.7500001.00000,0.648649,-0.2972979.250000 39.540541,5891892,-3.5405411.000000.617564,-0.3711059.540541 4|9.594901,5841360,-3.7308781.00000,0.608798,-0.3888409.594901 5|9.6040745.824033,-3.7753171.000000,0.606413,-0.3930959604074 6|9.6054295818746-3.7856991.000000,0.605777,-0.3941219605429 79.6055725817228-3.7781391.000000,0.605777,-0.3943699605572 8|9605675816808-378871710000565039449605567
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果 k u (k) v (k) mk 0 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 1.000 000，1.000 000，1.000 000 1.000 000 1 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 1.000 000，0.750 000，0.000 000 8.000 000 2 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 1.000 000，0.648 649，-0.297 297 9.250 000 3 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 1.000 000，0.617 564，-0.371 105 9.540 541 4 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 1.000 000，0.608 798，-0.388 840 9.594 901 5 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 1.000 000，0.606 413，-0.393 095 9.604 074 6 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 1.000 000，0.605 777，-0.394 121 9.605 429 7 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 1.000 000，0.605 777，-0.394 369 9.605 572 8 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 1.000 000，0.605 566，-0.394 429 9.605 567
由表711知,mn2-mnN<103,故取 9.605567, 相应特征向量为x1≈(8)=(1.0000006056-0.374429)。 本题精确值λ=9.60555127…
由表 7.1.1 知， 5 8 8 10− m − m ，故取1 m8 = 9.605567， 相应特征向量为 T x v (1.000000,0.605566, 0.374429) (8) 1 = − 。 本题精确值 1 = 9.60555127
对于矩阵Δ按模最大的特征值还可能有多种情况,这是对幂法做适当 修正,仍可求出结果。 设矩阵A的按模最大特征值是互为相反的实根,即A1>0,2=-1,且 1闩2A3…2An1,由式(714)知 A[axx1+(-1)a2x2+∑a ](71.7) 于是 (k+2) 1x+(-1)2a2x2+∑a()x lim lim k→∞ k→∞ [a1x1+(-1)a2x2+a1(")x1
对于矩阵 A 按模最大的特征值还可能有多种情况，这是对幂法做适当 修正，仍可求出结果。 设矩阵 A 的按模最大特征值是互为相反的实根，即 1 2 1 0, = − ，且 | | | | | | ... | | 1 = 2 3 n ，由式（7.1.4）知 [ ( 1) ( ) ] (7.1.7) 3 1 1 1 1 2 2 ( ) = = + − + n i i k k k i i k u x x x 于是 2 1 3 1 2 2 k 1 1 1 2 3 1 2 2 k 2 1 1 2 1 ( ) ( 2) [ ( 1) ( ) ] [ ( 1) ( ) ] lim lim = + − + + − + = = + = + + → + → i j k n i i i k i j k n i i i k k k j k j k x x x x x x u u