南京大学计算机科学与技术系：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法 7.1 幂法 7.2 Jacobi法 7.3 QR算法（1/2）

=1m 由式(7.17)可以看出u4随着k增大,呈现有规律摆动,于是当k充分大 时,有 l14+1)≈2(a1x1+(-1) k+1 Cx (k) 41(ax1+(-1)a2x2) 即 k+1 +A116)≈2Aax1x1 l4+)-1n16)≈(-1)4124+a2x2)

即 ( ) ( 2) 1 lim k j k j k u u + →  = 由式（7.1.7）可以看出 (k ) u 随着 k 增大，呈现有规律摆动，于是当 k 充分大 时，有     + −  + − + + + ( ( 1) ) ( ( 1) ) 1 1 1 2 2 ( ) 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) u x x u x x k k k k k k       即    −  − +  + + + + + ( 1) 2 ) 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( ) 1 ( 1) u u x u u x k k k k k k k      

除去一个常因子,我们得到特征向量 )+ (k+1)

除去一个常因子，我们得到特征向量     −  + + + ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) 1 k k k k x u u x u u  

例7.1.2试用幂法求矩阵 4-11 A=16-2-2 16-3-1 按模最大的特征值和相应的特征向量。 解由算法71.1得计算结果如表7.12所示

例 7.1.2 试用幂法求矩阵           = 16 - 3 -1 16 - 2 - 2 4 -1 1 A 按模最大的特征值和相应的特征向量。 解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.2 所示

表712例712计算结果 k (k) 0 0.4 0.5 0.6 0666670.833331.00000 283357.0000671666730.3953490.9767441.0000 1.6046522.3720962.3953520.6699020.9902911.000000 26893196.7378506.7475590.3985620.9985611.000000 23456789 15956862.37987023813090.6700880999396 000000 2.68095667726166.7232200.3987610.9999101.000000 15951332.3803562.380446067009809999621.000000 26809566.72164467216820.3987740.9999941.000000 1.5951022.3803962.38040206700980.9999971.00000 2680395672157467215770.398775099999 000000 10 1.5950992.3804012.380401 116.380396159999815.99998

表 7.1.2 例 7.1.2 计算结果 k u (k) v (k) 0 0.4 0.5 0.6 0.666 667 0.833 33 1.000 00 1 2.833 335 7.000 06 7.166 673 0.395 349 0.976 744 1.000 00 2 1.604 652 2.372 096 2.395 352 0.669 902 0.990 291 1.000 000 3 2.689 319 6.737 850 6.747 559 0.398 562 0.998 561 1.000 000 4 1.595 686 2.379 870 2.381 309 0.670 088 0.999 396 1.000 000 5 2.680 956 6.772 616 6.723 220 0.398 761 0.999 910 1.000 000 6 1.595 133 2.380 356 2.380 446 0.670 098 0.999 962 1.000 000 7 2.680 956 6.721 644 6.721 682 0.398 774 0.999 994 1.000 000 8 1.595 102 2.380 396 2.380 402 0.670 098 0.999 997 1.000 000 9 2.680 395 6.721 574 6.721 577 0.398 775 0.999 999 1.000 000 10 1.595 099 2.380 401 2.380 401 11 6.380 396 15.999 98 15.999 98

从表7.12可以看出,n(,p)呈有规律的间隔摆动 出现,符合我们分析的最大模是互为相反实根情况,于 是从υ后,继续作不规范化迭代两次,于是 6.380396 15.999990 0.398775 ≈3999-41=-39999

从表 7.1.2 可以看出，u (k) ，v (k) 呈有规律的间隔摆动 出现，符合我们分析的最大模是互为相反实根情况，于 是从 v (k) 后，继续作不规范化迭代两次，于是 ( ) ( ) 15.999990 0.398775 6.380396 1 1 1 1 1 2 1 1  = = v u  1  3.999999,2 = −1 = −3.999999