111k(r,u)k(u,t)due.e'du- er+t--e1在区间（，1)，u，有1k(r,u)k(u,t)du =I'ee'du= (1-r)e*+*1_|+e++-e*+(1-2)*+(2-)e++_e+1因此k(,t)一122当≤t时k(t)的表达式可通过r，t互换的方法得到1e+1k2(r,t) kz(t,z) = (2 -t)e+z-12于是一(2 - t)e+++ _ er + 1(0)2k,(r,t) =e"+1(2 -r)er+t --(r≤)2下面引进核互为正交的概念。已知两个核（，t），l（，t），如果对定义域内，t任何允许的值都有k(t,u)l(u,t)du 0l(r,u)e(u,t)du=0则称核()与)在(a互为正交。例如核(,)=t，()=在1,1正交。这是由于(xu)(ut")du=tu'du=0 (r'y')(ut)du = rtf u'du = 0存在与自身正交的核，对于这种核，k2（z，t)一0，显然以后的迭核均为零，于是解核与核k（，）相同。例如当k（，）=sin（-2t），0≤≤2元，0≤≤2元，有12[cos(+2t-3u)--cos(r-2t-u)jdusin(r-2u)sin(u-2t)du=210[sin(+ 2t 3u) + sin(z-2t u))273由式（2.1-9)，解核等于核本身，即R(r,t) = sin(r - 2t)如果m(,t)与n(,t)互为正交核，则与核（r,t）一m(.t)十n（z,t)对应的解核R(t;)，等于m(t)对应的解核R(2,t;)与n(t)的解核R2(x,t)之和(请读者自已加以证明）。这个性质可以推广到任意有限个核的情况，如果核m1"（工，t)，m<2)（r，t），，又m"（工，t）相应的解核，等于每个核所对应的m（z，）两两正交，则与它们之和是（工，）二台解核之和。例2.1.5求核k(r,)=rt+z2，a=—1，b=1对应的解核。解以前已指出核m（）=与l（）在一1，1正交。再分别求出对应的24**
5r2f23xt解核Rm(x,t;a)3=2，at 对应的解核 R,(r,t;A)因此(z,t)的解核5-22R(r,t;a)=R(r,ta)+R.(c,t:A)3..5r?332+522782.2退化核方程在第二类Fredholm积分方程中，有一类重要的、特殊类型的方程退化核方程。它本身可以用初等方法，即化为线性代数方程组求解；而对于一般的第二类Fredholm方程，如果把它的核用退化核逼近，则它的近似解就可利用求退化核方程的解得到。此外，利用退化核方程，还能使导出一般连续核的Fredholm积分方程理论的过程得到简化。对于第二类Fredholm方程z)k(r,t)p(t)dt f(r)如果它的核可以表示成有限项之和，其中每一项都是两个因子的乘积，一个因子仅依赖于，另一个仅依赖·于t，即具有以下形式h(1,t)=a,(r)b,(t)就称此方程为退化核方程。它可表示为Za(α)b,(t)(0)dt= f(r)x)f1即Ca.(r)/b(t)p(t)dt =f(r)(2. 2 -1)(z)-设a（）(i=1,2,n）线性无关；a（），b（t)（i=1,2,n）在a≤x，t<b连续，记b,(t)g(t)dt=c(t=1,2,",n)(2.2-2)则式(2.2~1)化为(2. 2 ~ 3)P)=()+Ceru,(u)因此，为了确定积分方程（2.2-1的解，只要确定未知常数c，即可。为了得到c.所满足的方程组，可以把式（2.2-3)代入原方程（2.2-1)中去，但把式（2.2-3)直接代入式（2.2~2)，就能更方便地导出c（i=1，2，，n）满足的方程组来[b(t)[f(t) +Aca,(0)]dt = c,-b()f(t)d+h,(t)a,(t)dt = c"b,()f(t)dt f.记(2.2-4)b,(t)a,(t)d =ay)—25
就得到c，的线性方程组(2.2 -5)例2.2.1解退化核方程(rch t - tsh r)p(t)dt - 00()-^(2. 2 - 6)解 设ch t9(t)dt = c)(2. 2 -7)tg(t)dt = c2(2. 2 -8)于是ch tp(t)dt - Ash r]tg(t)dt- ciar-czash a(2.2 -9)(x) = Az把式（2.2-9）代入式（2.2-7)及（2.2~8），得c(1-atchtdt)+caashtchidt=0cia" d + + c(1 + atsh tdt) = 0(2.210)[c(1-入.0)+c2.0=0即2.(2.2 ~11)ca+(1+2e)=02e.因由式（2.2-10)，C1=0，为得到方程（2.2-6)的非零解，C2≠0，由式（2.2-11)，入=e时方程（2.2-6）有非零解此，当入。2.以)=-Ashrcsh式中c二一C2入为任意常数。记系数行列式—入012"Aa111- Aanl..Aa2mAu211-22D(A):1-Aax?1AaAani...利用Cramer法则求式（2.2-5的解，注意到式（2.2·4），如果记n十1阶行列式a(r)0ra2(r)ai(r).12.-AainAailb(t)1 ←Aan-a211—Aa22be(t)D(r,t;) =:*..::Auzra1- a.b,(t)Aaal入D(r,t;)f(t)dt则()=f(r) +D)Dtafdtf(r)+D(a)26
D(r.t;A).式中就是式(2.1-10)中的解核R(x，a）。行列式D(，,入)的展开式由D())的D()子式与a,(a)、b,(t)按一定的方式构成D(α,t;A) Dna,(a)b(t)式中乙,是D(入)的第i行、第列元素的代数余子式。如果式（2.2-1)中的f（）恒等于零，即方程是齐次方程，它有平凡解Φ工）0，它与式(2.2一5)右端为零时的平凡解C一C2=…—c一0相对应，当D(入)半0时，上述解是惟一的。如果D（a）=0，则c.(i=1,2，，n）中至少有一个可任意取值，而其余的值由此确定，于是齐次积分方程（2.2-1)有无限个解存在。使D（)一0的入值是积分方程的特征值，与它对应的齐次积分方程的任何一个非平凡解（例如a,（））就是此积分方程的特征函数，如果对于个已知的特征值，常数c1，C2，，c中有m个可以任意指定，则与此特征值相对应，有m个线性无关的特征函数。如果自由项f（x）不恒等了零，当D（1）≠0时，非齐次积分方程（2.2-1)对--切入的值有惟解。当D(>)=0，如果对所有的i（i=1,2,…，n）都有b(r)f()d=f,=0，即在(a,b上f（r）与所有的函数b（r)(i=1,2，"n)正交，则此时式（2.2-5)的右端仍为零，同样，c(i=1，2，…，n）中至少有一个可任意取值，而其余的c值由它确定。于是非齐次积分方程（2.2-1）的解有无限个，按式（2.2-3)，此解表示为了()与特征函数a（r)的线性组合之和；如果在b（r）f（r）dr二f.（i=1,2，，n）中至少有一个不为零，则非齐次方程组（2.2-5）及非齐次积分方程（2.2-1)无解。例2.2.2讨论下述方程的可解性：(2.2 -12)P(r)=^/(1—3zt)(t)dt+f(r)解式(2.2-12)是退化核方程。令t)dt(2.2-13)CE(2.2-14)t0(t)dtC2=(2.2 -15)财r)=a(c-3c)+f(r)把式（2.2-15)代入式（2.2-13）、（2.2-14)中，得到c - 4i0- 0 + J,()dca +[(t)de即(1)+号c2f(t)d(2.2-16)+(+ )=f()d-.-27
式（2.2-16)的系数行列式3入2D(>) =(4 - )41入1+入2当且仅当入≠士2时，式（2.2~16)有惟一解，从式（2.2-16)解出c1，c2，代入式（2.2-15)就得积分方程（2.2~12）的惟-解，当入=2时，式（2.2-16）化为f(t)dtC1+3c2(2.2-17)tf(t)dtC2+3c2=当入=—2时，式（2.216）化为f(t)d(2.2 -18)tf(e)dtCa当入一2时，如果f(t)dt:tf(t)dt，即'(1 -t)f(t)dt = 0(2.2-19)f(t)dt，由式（2.2-15)，以z）时，式（2.2~17)中的两个方程同解，因此c1=3c2(t)dt+f(r），其中A=6c2为任意常数；如果式（2.2~19)不成立，则式A(1 - r) -(2.2~12)无解。当2时，如果(2)d=Jf()dr，郎'(1- 3t)f(t)dt= 0(2.2-20)号(t)d+f(），其中B2c为任意常数，如果时，类似地可得(r）=B(13r）—7.式（2.2-20)不成立，则式（2.2-12)无解。特别是，当f（）=0时，如果入半士2，则式（2.2-12）有惟一解以）=0：如果入2，由式（2.2-17），C1=3c2，再由式（2.2-15），以）=3c2（1），于是与入=2对应的特性函数为1-2；同样可求出入=—2所对应的特征函数为1一3。非齐次方程（2.2-12)的解（2.2~15)可表示为)=A(1—)+A(13)+f()3(C1-G2)A(3C2-C1)，即解可表示为f（）与特征函数线性组合之和，这个结其中A,A.22论对一般类型的第二类Fredholm方程也是成立的。例2.2. 3解z）一(r+t)g(t)dt=f(x)解上述方程是方程(2.2-1)中，α(）=，b,(z）=1，a2(z）1，b2()t，n=2的特殊情况，可设解(2. 2 - 21)r)=f()+(c+c2). 28