9(x) =f(r)t)g..,(t)dt(2.1-6)定理2.1.1设核(r,t)及自由项(2)连续，[X<(6-),，则函数序列(9（）)在区间[a,b)上一致收敛于积分方程(2.1~1>的解g()。证明把式(2.13)代入式(2.1-4)：得g(r) = f(z) +a["k(x,t)f(1)d然后代人式（2.1-5），得到k(r,t)f(t)di + x["k(r,t)f"k(t,u)f(u)du dt9() f(α) +改变上式殿后一项的积分顺序，得P(a) = f(x)+[ki(,t)f(t)dt + k2(r,u)f(u)du其中k,(r,t) =k(r,t)k2(1,u) =ki(a,t)ki(t,u)dt类似地可得(r) =f(r) +afki(r)f(dr +x'k2(,t)f(dt + +kn-(,)f(t)dt+'k.(r)f(t)dk,(r,t) =[k,(r,u)ka-1(u,t)du其中(2.1-7)k(t,t)称为n次选核如果()当时的极限)存在，则p()=f(x)+aki(r,)f()dt+...+,)f(t)dt+..(2. 1 -8)为了证明上述级数的一致收敏性，估计积分"ma(z,t)f(t)dr，显然[k2(r,u)/ ≤(hi(,t)ki(tu)Idt ≤A(b -- a)[[ki(r,t)k2(t,u)Idt ≤As(ba)?Ikg(r.u)≤[k.(x,u)/ ≤k,(r,t)ka-1(t,u) ]dt≤A"(b.-a)"[k,(ru)f(u)du≤A"(b -a)n*f(u)IduA"B(h-a)因此BA"|a"(ba)是级数(2.1-8)的强级数。当A(b-)、时，此数项级因而数项级数>19
数收敛，因而，对这样的入，级数式（2.1-8)或（9（α）)一致收敛于函数(）。对式(2.1-6)，令n-00，得到g(x)=k(rt)p(t)dt+f(r)因为序列（9（3）)一致收敛，所以积分号下取极限是合理的。于是（工）方程（2.1一1)的解。还可证明(α）是方程（2.1-1)的惟一解。这是因为，如果还存在方程(2.1-1)的另一个解)，若取零次近似路（）=），就得到9（）=（），（）），，（））由于()的极限为()，所以)(）。w1.A"[2|"-1(b—a)"-)、时，级数式（2.1-8)收敛，对这样的入，级数2由于当1<A（b-)-2入"-1k,（，t)的强级数，因为对选核有k（，t)≤A"(b一a)"-1因而也收敛，此级数是级数22+k（，t）一致收敛，设级数2--1k(tt)(2. 1 - 9)R(T,t:A) =L级数（2.1*8）可记为a"-1k(r,t)/f(t)dt(x)=f()+(2.1-10)f(r)+aR(t,t,)f(t)d函数R(zt;A)称为方程(2.1-1)或核(，t)的解核。以下给出解核的一般定义。定义2.1.1若对于^的某个值入(%牛0)和任意自由项，方程(2.1-1)的解存在且惟一，且这个解由式(2.1-10)表示，则称方程(2.1-1)对于入以R(r，t;入)为解核。定理2.1.2若方程（2.1-1)的解核存在，则解核必是惟一的。证明设对于，方程(2.1-1)有两个解核：R(α，t;)与Rz(，;）。因为当入一时方程(2.1-1)有惟一解，所以对任意函数f(t)有下列恒等式f()+R(:d)f(t)dt=f()+A[R(z,;)f(t)dtu(x,t)=R(r,t;Ao)-R,(a,t;no)记u(r,)f(t)dt=0就有又由于于(t)是任意的，对于固定的，可取f(t) =u(r,t)这样就有u(x,t)}'dt = 0从而u(t)=0，即R(;)=R(;)。这样，如果已知方程（2.1-1)的解核，则由式（2.1-10)就可得到此方程的解。以上我们-20-
仪对满足 |al<A(b-a)的入确定出解核。在 S 2. 3 Fredholm 方法一节中，将给出解核的另-一个解析表达式一一Fredhoim公式（2.3-14）。利用此式可以把解核R（x，t入）)解析延拓到复数入平面的任何有限区域（除了使D（入）一0成立的某些孤立奇点）。这样，在入平面的上述区域内，解核总是存在的，因而对入的任何值，除了上述奇点外，可以用式（2.1一10)得到积分方程(2.1-1)解。下面给出)的另一种形式，设(a)二k,(α,t)(t)dtn-l,2,..则式（2.1-8）可记为Zu(a)@(r)=f(r)+(2. 1 - 11)n-1即把(.r)表示为入的幂级数形式的解，式(2.1-11)称为方程(2.1-1)的Neumann级数。对解核成立R(r,t;A) = k(a,t) + a"k(a,u)R(u,t;A)du(2.1-12)R(,ta) k(r,t) + a"k(u,t)R(,u;d)du(2. 1- 13)式（2.1-12)可利用式(2.1~9)来证明：En-1k,(x,t)R(r,t;a) ==k(x,t) + a'k(r,u)ki(u,t)du +k(xu)he(u,t)du +".=k(z,t)+ak(r,u)[h,(u,t)+k2(u,t)+jdu=k(x,t) +xk(x,u)R(u,t+a)du式(2.1-13)可类似地证明。逐次逼近法可用来证明某些积分方程解的存在性。如果能求出（9（）)的极限函数，就求出了积分方程的解；在已知（9（））收敛于原方程解的情况下，有限次迭代的结果就给出此积分方程的近似解。例2.1.1求解积分方程5Pa)=rtt)dt6A(6-a)-1,=，满足条件|<A(b-)解在01，0，1，所以因此由式（2.1-11)，方程的解为+()+$(z) +.r）=6-的(n) = n鲁d-(号)2而621
111() = Ja号()d =号(号)211(a) Je-(d =(号)1+（）（（)+因此r)=.6.-{++(]-5一1-工611对某些积分方程，可利用送核求出解核，进而可求出积分方程的解来。例2.1.2求方程(a）-rtt)dz=f(）的解核，并求出方程的解。J0解由于ki(a,t)r，因此uduk2(r,t) (xu)(ut)du=Yks(x,t)-(ru)(ut)du?2ct31k.(r,t) =r[1 -1（，)—于是R(,t:a):T 3*-113.rt((2! < 3)rt3～入入1-3由式（2.1~10)，方程的解3ar) =f() +f(t)dtJo3-特别，当f(r）=时3rt3.tdt=)=+393下面介绍送核的表示与性质选核可以用核(x，t)直接表示""k( )/h(uj ua..(un--,) uidua.du-h,(r,t)二JaJn--1若核(r，t)在域ar≤b，a≤tb内平方可积，则所有的选核k（,t)(n≥2)在上述正方形区域内连续，对正整数i，3成立k(r,t)k(zuk-(u,t)d(2.1-14)式中1=1，2、.，j=1，2，22
若核k(,t)为对称核，即k(,t)=k(t,)，则送核也是对称的：k(r,t)=k(t,r)。最后给出计算送核与解核的几个例子。例2.1.3设方程的核k（，t)=r-t，a=0，b=1，求送核。解由式(2.1-7)k(a)r-t["(r - u)(u - )du = +- zt - k2(,t)32fα-)("+-u--) da =-T二ks(αt)=-122Lh(r,t)k,(r,t)i2/(r -u)(u-t)du =-412a(tt - r -号)1223经归纳，当n=2m—1时，k2m-)=（二1)-(r-1), m=1, 2, ..12#当n=2m时， kon(a,1)=(-αt，m-1,2,...12%-23/例2.1.4 没核k(rt)emn(rn)。u=0, b=1,求选核k(r,t)与k2(r,t)。a(0≤a)解min(r,t)=(a1)所以核k(t)可记为Je(o<rt)(,)=le'（≤1)容易验证此核是对称的，即(，t)一k(t,a)。显然，k,(a,t)=k(rt)，而k(r.u)ki(ust)duk(x,u)k(ut)duk2(r,t) =其中Jer(o≤zu)k(r,u)afe"(out)k(u,t)etu)由于k(，t)对称，于是k2(r,t)也对称，因此只要对≥t求k(t)即可，当r<时的表达式可利用对称性得到。当≥时k2(r,t) [k(a,u)k(u,t)du +k(x,u)k(u,t)du+"k(ru)k(u,t)du在区间（0,t)，≤≤r，因此['e". c'du -- e'"- ]k(u)h(u,t)du/2在区间（t，），u，于是23: