由式(2.2-5)，C1+C2应满足2=fi(2.2-22)=f2Aci +[1 -f(t)dt,f其中f=f(t)dt,a=1,2a22此时入一入2D(A)入1x123.0r111D(r,t;a) 27X-Y2一++r+tD（）=0的根为=6十43，—6—4~3，当且时，积分方程有解122t + 62 + 6t- 4)4- 12(r +nf()dep(r)=f(x)+^[+1212当入一入=-6+43时，式（2.2~21）化为(4-2~3)+(6-4V3)c2-f()de[[ 2-3]c +(4-2 V]c2= ftf(d即(t)d(4-2~3)c+(6-4V)c2=(2.2-23)(4-2~/3)c+（6-43)c--~/3f(t)dt(2.2-24)[f(t)dt=-uf(t)dt,即S(1+V3 t)f(t)dt = 0(2.2-25)时，由式（2.2-23），有(4-23)e=(4V3-6)c2+['f(t)de11c + 2+()d于是21再由式（2.2-21)，1(r)=A(~3+1)+f()+V3f(t)d129
其中A=2(-3十2V3）c为任意常数；如果式（2.2-25)不成立，原方程无解。类似地可得到，当入=入2=一6一43时，在满足条件(1-V3t)f(t)dt=0(2.2-26)时，可求出=- V3 + 2-3'5(d2于是)B(1)+f() f()dt其中B=2（—3—2V3)c为任意常数；如果式（2.2-26）不成立，原方程无解。82.3Fredholm方法逐次逼近法提供了在参数入取较小值时，求第二类Fredholm积分方程(2.3~1)h(r,t)p(t)dt=f(r)p(r) -^解的可能性。为了对参数入取任意值时的~-般情况求出方程（2.3-1)的解，Fredholm使用Volterra口采用过的想法，用积分和式近似代替积分，把积分方程作为线性代数方程组的极限情况来加以研究。在1903年他首先利用所谓Fredholm行列式，给出第二类Fredholm方程的解，并证明了Fredholm方程的基本定理。下面先介绍Fredholm行列式、Fredholm一级子式的概念，给出方程（2.3-1)解的表达式；讨论积分方程的特征值与特征函数，为2.4Fredholm定理的讨论做准备。1，Fredholm行列式Fredholm一级子式设积分方程(2.3-1)的核k（，t)，自由项f(α），未知函数g(r)在定义域内连续，把区间Ca,b)分为n等份，每份的长为h二。。设第个分点为t,(μ=0,1,2…n)。把2方程（2.3-1)中的积分用积分和式代替，则方程（2.3~1)化为近似方程(2. 3 ~2)p(r) -M k(r,t,)p(t) =f(r) E (a,b)-1为了确定未知函数)在点;(a≤,<b)的近似值，在式(2.3-2)中设—，2，，工，得到线性代数方程组(2.33)甲 -Mk甲, - f.(i=1,2,"",n)0式中f(a)=ft，()=，k(i,)-k,方程组（2.3-3)的可解性依赖于行列式-Ahkin11-Ahkn-Ahki2"..:::D,(A) =1Ahkmn- Ahkn2-Ahknl...—30--
的值。把D,（）按入的筹展开k.ku130D,(^) = 1Eh?办&?22ktku设D（a)中第列元素一^ha的代数余子式为D（α,，入)，把它也按入的幕展开，得到k.,k.pD.(a,,x,,A) - Ahk, -x办2Ikpykpp若D,(a)≠0，则由Cramer法则，线性方程组(2.33)的解为9.=TD.(C+,+)f,D,()2可以预料，当n→o，h→0时，极限形式就给出非齐次积分方程（2.3-1）的解。由D,（)，D,，x，)的定义及它们的入的乘幕之展开式，可分别求出它们的极限D()，D(r,tA)的表达式2"caD(A) = 1 +(2. 3- 4)m!式中k(t1,t,),,k(ti,tm)....Idtidta...dt..(2.3-5)k(tmst),*",k(tmstm)y (-1)mD(r,t;)=h(r,t) +Bu(r.t)amm!2(1)Bm(r,t)x"7(2.3 -6)m!式中Bo(a,t)=k(r,l)k(r,ta)k(r.t)k(r,t)...kh(ty-t)k(tr,tt)k(tistm)..(2. 3 -7)dt,dt,..-dt.Bm(r,t):k(tmtm)k(tm,t)k(tm,ti)..以下证明D(Λ)与D(，t；Λ)是在复数入的全平面上的解析（全纯）函数记lk(zit)kk(zit2)k(ry,tm)ik(r2st2)..k(12stm)k(r2,t1)T20..4::：t2t.k(rmti）k(xmst2)"，k(xm，tm)若lk(，t)|≤A，则每行元素的平方和小于mA"，由Hadmard定理（一个m阶行列式的值小于它的各行的元素平方和乘积的平方根1）得到ml≤mAm(2. 38)Ktt.2o1t2idti +dtdt,KI...D() = 1 而K2111！+*31
1s9:(-1)dt,dt..di +..m!(tit2,-t4利用式（2.3-8)得到上述级数每一项的--个估计，由此估计，得出此级数在复变数入的全平面上是内闭绝对一致收敛，因而D(a)是一个解析函数。D(a)称为Fredholm行列式，或(r，t)的行列式。类似地，可以证明，D（，t；^)的幕级数表示式，在复变数入全平面上内闭绝对一致收敛，因而也是--个解析函数。D(r，t;a)称为Fredholm一级子式。当核k(z，t)在有界域上为平方可积函数时，Carleman证明了D(入)与D(r，t；^)仍为入的解析函数（证明见文献[6])。2第二类Fredholm方程解的表达式下面先建立联系D(，t；入)与D(a)的Fredholm基本关系式，然后导出第二类Fredholm方程解的表达式。把式（2.3-5)中积分号下的行列式k(r,t)k(r)..kr，tm）k(tist)k(ti,tm)k(ti,t,)irtt:::Itttmk(tmstm)k(tmst)k(tm,t1)按第一行展开jtt..tmi=k(a,t)xiK+ttit2.t.-1)"k(T,th)K.tu-1+I+于是tmk(a,0)Kdtidt.--drm+Bm(r,t)C(- 1)"...k(a ,t,) ×ftit2tntt.dtdtg...dt.KItt..tu-1tn+tm考虑到式（2.3-5)以及上式右端第二项积分号下行列式的第n行依次换到第n一1行、第n2行、、第-·行时，行列式的值变为原来的（一1)"-1倍，而有k(r,tn)XB.(r,t) =Cmk(x,t) +1tn-1tu+1tn-if+Tk(x,tn)Bam-r(t,t)dt,Cmk(r,t) 32
Cmk(.r,t)k(,)Bm-1(u,t)dz(2. 3 -9)（这是因为对于每一个(r,t)Bm(tn,t)di,=k(r,u)Bm-(u,t)du)S≤Bm(1)因此,D(r,t,a)=k(r,t)+)m!- k(a,t) +2=1"cma(2,t) -m!(1)"-*二"[k(α,u)Bm-1(u,)du(m -1) 1 k(,t) +[D(a) - 1k(r,t) --ak(ru)x(2 - a= D(a)k(r,t) -a[k(r,u) ×[2=Bm(u,t)x ]dnm1[k(c)D(u,t;A)duD(A)k(,t) -^(2.3-10)类似地，可得到D(a,t:)= D()k(x,t)-αk(u,t)D(z.u;A)du(2.3-1))式（2.3-10）、（2.3~11)称为Fredholm基本关系式。这样，可以得到如下定理。定理2.3.1设f(r)是(a，b)上已知的连续函数，若核k(r，t)在a<r，t≤b连续，且参数入不是Fredholm行列式D(a)的零点，则积分方程（2.3-1)有惟一的连续解() = () + B()dt(2. 3-12)JaD(A)证明把方程（2.3-1)中的，分别用t，t代替，并移项，可得f(t) = q(t) "- ^[k(t,t,)g(ti)dt(2.3-13)若参数入的值使 D()±0，用:DBj一乘式(2. 3-13)的两端，再关于t从a 到6积分，就D(A)有DataftidtcD(r,t,a)D(ayp()dt -D()A f(a T'k(,tandt xdrD(a)('D(,t:)g(t)d: D[a D(x,t;A)k(t,ti)dt ](t))dtD(A))入rA[D(,t;g(tde-D(a)D())a(D(r,t1,) -D(a)k(x,ti))g(t)dt)33-