r(t) =kn(t)(1.2-48)式中k为比例系数。由式(1.2-47）、（1.2-48)得n(t) = noj(t) +t[f(t - r)n(t)dt这是一个以n(t）为未知函数的第二类“卷积型”的Volterra方程。8.设备的失效与更新在生产过程中，生产部门为了避免因设备损坏影响正常生产，就需要使处于正常工作状态的设备，在任何时刻都保持一个固定的数量。这就要求确定设备的更新率r（t），确定更新率r（t）的问题可以化为解一个以r（t）为未知函数的积分方程。首先设s（t）是一个用以确定在1一0时新买进的、且到时刻t保持完好的设备台数在设备总数中所占比率的函数，称为生存函数。设在时刻处于工作状态的设备总数为(t），则在时刻t=0新买进的设备数为f（0)，由于损坏或磨损，到时刻t，其中只有f(0）·s(t)台保持完好。为了在时刻t使设备台数保持大于f（0）·s（t），从时刻t=0到时刻t，必须以一定的速率不断更新设备。设在时刻r，设备更新率为r（t)，到时刻t，在时刻所更换的新设备的使用期限为t一t，此时保持完好的设备的台数所占的比率为s(t一t)。由于在时刻开始的时间间隔△内所更换（新买进）的r(t)Ar台设备中，只有比率为s（t一t）的那部分设备保持完好。这些不断更换的、保持完好的设备台数为()s()△z，把它关于在时间区间（0,t)积分，就得到Js(t-t)r(t)d (>0)(1.2-49)p(t) 式中p（t)是在时间区间0<t≤内囚更换而购进的设备，在时刻仍保持完好的数量。因此，若再加上原有设备（即在t=0时的新设备）在时刻t保持完好的数量f(0)s(t），就得到在时刻t处于工作状态的设备总数f(t) = f(0)s(1) +I s(t - )r()dt(1.2~50)如果f(t)、s(t)为已知函数，则式（1.2-50)就是一个以r(t)为未知函数的第一类Volterra积分方程。式中s(2)满足条件s(0)=1，即新购进的全部设备都处于工作状态。9.带电圆板对偶积分方程组成对出现的积分方程组，称为对偶积分方程组。这种对偶积分方程组，通常是一组混合边界条件的积分表达式。所谓混合边界条件，是指在边界区域的一部分上给出的是函数本身的值，而在其余部分给出的是函数的导数值。下面以A（β）为未知函数的方程组就是一个对偶积分方程组(1.2-51)pA(p)J(rp)dp=ua(0≤r<1)(1.2~52)J. pA(p)Jo(rp)dp= 0 (r>1)式中Je（a)是零阶第一类Bessel函数(J(r）是n阶第一类Bessel函数，它是Bessel微分方程f"十αf"十（rn)f=0的、在a=0有界的两个线性无关的特解之）。- 14 —
式（1.2-51）是带电圆板形成的电场在单位圆盘内部（0≤r<1）的电位保持恒定这一条件的积分表达式；而式（1.2-52）则描述了在单位圆盘外（r>1）是完全绝缘的状况。在第五章，将利用Hankel变换导出上述对偶积分方程组。积分方程的重要性在于它能反映积累或遗传的情况，在这种场合，状态）受到它以前全部值改为的积累所产生的影响。10.一种传输系统研究一种线性的传输系统，设(t)是系统的输入量，而s（t)是系统的输出量；A（t）表示“传输的响应特性”，即当以t)是单位阶跃函数时10(<0)p(t)= (t>0)所对应的输出量s(t)。此时成立["]dJ(-)dr(1.2-53)s(t)=Φ(t)A(0)—即QA(t-t)dr=S(t)(1.2 - 54)(t)A(0)Td下面以一个具有惯性的测量系统为例进行讨论。这里惯性是指当初始输入量等了0，然后突变为1，则仪器指针不是立刻指到读数处，而是经过--段时间逐渐到达读数处。设指针按规律A() = 1+e,-1(1.2-55)2t从读数1/2处逐渐改变到读数1处，于是产生这样的问题：如何按从仪器指针观察到的读数s(t)去求输入量t)的变化规律。这个问题归结为从第二类Volterra方程（1.2-54)解出p(t）来。当s(t)=1，即如果在任何时刻测量仪器的读数总是1时，所测量的输入量t)的变化规律以可通过解(1.2-54)得到，式中A(t)由式（1.255)给出，s(t)三1。在$7.3中，将给出上述方程的近似解。11.绳索的扭转在施加一个扭矩mt）使一条绳索（或一根棒）扭转时，假定扭转在初始时刻t立即产生，且在t之前没有施加其他扭矩，则为使此绳索（或棒）扭转角度w()所需施加的扭矩m(t)与扭转角(t）成比例，即(1.2-56)m(t) =hw(t)但实际上，为使得绳索扭转角度（t），扭短是在-个时间区间内施加的。此外，由于在t之前，即在（一8o，t)内所施加的扭矩会改变绳索的物理性质，因而对时刻的扭转产生影响，因此在时刻t的扭转角(t），依赖于时刻t的扭矩以及在时刻t之前时间区间（一oo，t)内的扭矩。绳索扭转的静平衡问题可以表示为(1.2-57)m(t)=ha(t)+t,)w()d--· 15
式（1.2-57)是未知菌数u(t）的个第二类Volterra方程，式中h是个常数；以t，t）是一个已知函数，它表示t之前的扭矩如何影响绳索的物理性质因而影响时刻t的扭转角。t，t)作为代替式（1.2-56）中之常数h的比例系数，反映了在时刻t，对t之前连续施加的扭矩m（r）(-<r<t)起多大的影响。由时刻所施加的、使绳索扭转角度为@()△的扭矩，在时刻t所产生的扭矩增量为(t,t)w()A。把区间一<r<t内所有的扭矩相加，就得到最终所施加的扭矩m(t) --p(t,t)w(t)dt(1.2-58)这样，为了使条绳索产生一个扭矩m（t），确定扭转角的变化率应取多大这一问题，就化为解w(t）的个第一类Volterra方程（1.2~58）。以tt)一般依赖于两个变量与t，如果以t，)依赖于与的差t一t，即(t.t) =q(t -r)则式（1.2-58）就是一个卷积型的Volterra方程。12.摆的受追周期振动个摆在周期驱动力的作用下，作有限受迫周期振动，摆的振幅u（t)满足下列非线性微分方程(1. 2 - 59)u"(t)+α'sinu(t)=G(t)式中α为常数，G为周期为2的奇函数。为寻求方程（1.2-59)的周期为2的解（即在t=0及t=1时均为零的解），引入Jt(1-s) (0<t<s<1)h(t,s)--ls(1 -t) (0<s<t<1)'k(t.s)G(s)dsg(t)=F(s,f)=-a’sin[f -g(s))于是f=g十u满足方程f(t) +(1.2-60)k(t,s)Fs,f(s)Dds0式（1.2-60）是一个Hammerstein方程。参考文献1TeTpOBcKHHF.积分方程论讲义，北京：高等教育出版社，19542陈传璋等积分方程论及其应用：第1版．上海：上海科学技术出版社，19873KpacHoB MJI M Ap.,HHTerpaHble 5'paBHeHHH,H3 2-e,MockBa M.,“Hayka",19764JerriAJ,Introduction toIntegral EquationswithApplications,NewYork,MarcelDekker,Inc.19855Froberg,Carl-Erik.Numerical Mathematics.Theory and Computer Applications.California:Behjamin/Cummings. Inc.19856 Logan,JDavid., Applied Mathematics. A Contemporary Approach, New York: John-16 -
wiley &.sons.Inc.,19877JIyabeAH.OnepaunonoeWcuncienmeHeroIpmiokenk3ananMexaHhkh1g51习题1.验证z）一1一工是积分方程t)d的解,2.验证积分方程dx）除了零解工）三0外，具有形如()c-1的解，式中。为任意常数。3.验证以）=~二是积分方程xVxpt)dt=1Jox-t的解。4.把以下微分方程的定解问题化为对应的积分方程。fy"+ycosx(1)y(0)=0,(0)=1[y"+(1+22)y=cos (2)y(0)=0, y(0)=2y"+4y=f(r)(3)y(0)=0,=y2Jy"+ry"+(r'-r)y=re'+1(4)(y(0)=y(0)=1,y"(0)=05.把下列积分方程化为微分方程的定解问题再求出解来："p(t)dt(1)(r)=(2)**pr)dt1(3) x) = 272±)21.(22+1p(t)dt+117
第二章第二类Fredholm方程第二类Fredhoim积分方程，在理论与应用上都有很重要的意义，所以首先对这类方程进行讨论。对于一般的第二类Fredholm积分方程，当参数入的值较小时，可以用逐次遍近法求解。Fredholm提出了参数入取任意值时，求第二类Fredholm方程的方法一Fredholm方法。退化核的第二类Fredholm方程，可直接化为代数方程组。本章讨论上述求第二类Fredhoim方程分析解的方法，并建立第二类Fredholm方程的基本理论一一Fredholm定理。对称核及卷积型的第二类Fredhoim方程将分别在第三章、第五章进行讨论。82.1逐次逼近法考虑第二类Fredholm方程(r) -af k(r,t)p(t)dt = f(r)(2. 1 - 1)假设k(t)与f()分别在α≤，t≤b与a<r<b内连续，因而是有界函数；ik(zt)<A，1f(）≤B，则对充分小的入，可以用逐次逼近法证明方程（2.1-1)的解存在。更一般地，当f(r)在(a，b)上平方绝对可积，即存在正常数D，使得f()adr D2同时（工，t)关于，t平方绝对可积，且它的绝对值平方关于单变量的积分是一个有界函数，即存在正常数C,，使得[[k(r,t) 1'dt <C?时，上述结论也是成立的。把方程(2.1-1)记为"k(x,t)p(t)d(2.1-2)z)=f()取f（）为零次近似(2.1-3)9(x) = f()将9（z）代入方程（2.1一2)的右端，把所得结果作为一次近似(2.1-4)g(r) =f() +ak(r,t)g(t)dt依次类推，即按下列规则作函数序列（），（），，（），(2.1~5)g() =f() +ak(,t)g(t)dt18--