dy+ardn-+...+ay=F(r)dIdr"-y(ro) = Co, y(ao) = Ci,*",y("-1(xn) = Ch-1可以化为第二类卷积型（它的核仅依赖于x一t)Volterra积分方程(r) =k(r,t)o(t)dt + f(r)Fa（--)中 (z,t) -a(h-1)!f()F(r)a,(r)Ch-) -a2(r)(Cn-1 +Cu-2)-Z-2.a,(r)[Ca-- (n-)!+c- (-2)+++Cu+c.)（3）常微分方程的边值问题常微分方程的边值问题可以化为第二类Fredholm方程。对于边值问题1+-0(1. 2 - 28)(1. 2 - 29)y(0)=(1) - 0d'y=）令d2上式两边关于积分，得到dy"0(d+Cdr上式两边再关于积分，就有u+C+Cy(x) =交换积分顺序，得dedu+ Cit + C, =(-ede+Ci+Cy(a)=由式(1.2-29)知，C2=0，且(1 -- E)(de + Ci = 0因此C - (1-)(de于是ey(r) =把上式右端的第二个积分表示为（0，z）、（r，1)这两个区间上积分之和，就有[5(-)0(e)de+[(1-)d(）再由式（1.2-28）可得第二类Fredholm方程'G(r)de(1.2 -30)()一)9
E-)(0≤E)式中G(,S):lr-)()就是边值问题式（1.2-28）、（1.2-29)的Green函数，显然，它满足对称性G(r,e) = G(e,r)例1.2.4已知弦作强迫简谐振动的方程为+=f()(1.2-31)边界条件为9(0) = (1) 0(1.232)求在点处位移）满足的积分方程。解 对一）（)d分部积分，可得)=0)(0)+(r-(de(1.2-33)由式（1.2-31)，得g() =f(r) ap(r)把上式代入式（1.2-33)，再利用（0）=0，就有-t)f(t)dt(r-t)p(t)d) =(0)+(1. 2 - 34)再令=1，利用式（1.2-32）、可得(-)ap()-f()d(0) =再代入式（1.2-34），经计算，就有(1.2-35)r)--()p(d=()式中[（1-)1k(1,5)-E)1-[z(1-f(e)deh(r)=-式（1.2-35)是边值问题式（1.2-31）、（1.2-32）所对应的第-类Fredholm方程。4.椭圆型方程边值问题利用位势理论，可以把椭圆型偏微分方程的边值问题化为积分方程。方法是，把满足偏微分方程的函数，表示为单层位势或双层位势，然后选取其中的密度函数，使对应的位势满足边界条件，密度函数所适合的方程就是Fredholm积分方程。例如，对二维Laplace方程的Dirichlet内间题A=o,-f可以把它的解表示成以p(P)为密度函数的单层位势：p(P)Indi(1.2 -36)p(M)I'MP10
式中M)表示在区域内点M的值，rmp是M点到边界上点P的距离。然后对式（1.2-36)令M趋近于边界L上的点Pt，记rp为边界上点P与P,的距离，就得到确定未知密度β(P）的第一-类方程IdisO(P)Inf(P) :rpP,当P=P，时，上列第一类方程的核显然变为oo，为了避免这种情况，Volterra、Ncumann及Poincare把解表示为双层位势alnTMEdP(1.2-37)以M)o(P)-an式中n为L在P点的外法线方向。再令点M趋近于边界上的点P1，就得到未知密度p(P)所满足的积分方程ainIIpeadip(1.2-38)f(P1)=元p(P) -D(P)-an式（1.2-38）是一个以(P,P)) = --cos(n,PP)res为核的第二类Fredholm方程，式中（n，PP）为在P点边界1的外法线向量n与PP，的夹角。利用第二章的定理可知，当入一一时，上述方程的Fredholm行列式不为零，因此它存在惟一解。5.多维积分方程有时会出现几个自变量的情况，这时所引出的方程是多维积分方程，在静电学中可以证明，若电荷分布密度为p（P），只要在无穷远处电荷分布为充分小，则电势[ePdtr(1.239)V(P) =4TEJTPP式中是介电常数。式（1.2-39)是一个由已知电势分布V(P)来确定未知电荷分布p(P)的多维第一类积分方程。实际上，方程（1.2-39)的解为(1.2-40)O(P)--EAV而偏微分方程（1.2~40）的在无穷远为充分小的解，由式（1.2-39给出。对于热传导混合问题((,y)E n. t>0)ayul0=0(ulr p(s,t)11
式中Q是Oy平面上的一个有界区域，F是Q的边界，s是确定上-个点位置的参数，设0≤s≤1。如果寻求双层热势形式的解l"uo,t)e-ndo]dtu(r,y,t) =2元／（1annt式中a是积分路径上点对应的参数s的值，n是点s=a处F的外法线方向，u（c，）是未知热势的密度，r是α上点（，y）到T上参数s=α对应之点的距离，则密度函数u(s.t）满足下列维积分方程Itrr u(o,t)u(s,t) - -os(rdo)d--g(s,t)式中r是F上参数s对应的任意点与参数s=。对应点的距离，向量r从s对应的任意点指向s=。对应的点。6.Abei问题1823年，Abel研究了等时曲线问题（后来命名为Abel问题）。已知一个质点在重力作用下，沿铅直平面中某条曲线无摩擦地滑动（见图1.2）。问题要求确定此曲线的形状，使质点沿此曲线以纵坐标y一h的点为起点，从静止开始滑动，经过预定的时间f,（h）到达轴（y=0）上的终点，即质点沿此曲线高度下降h所需的时间t，是起点纵坐标h的一个已知函数fi(h): t=fi(h).设质点的质量为m，重力加速度为g，由能量守恒定律可P知，在任何位置，运动质点动能的增加，等于其位能的减少，即my"=mg（h一y），因此运动质点速度的绝对值u=图 1. 252g（h一y）（y<h）。设β为曲线的切线与α轴的夹角，于是运动质点在方向的分速度的绝对值为d=2g(h-)sindtdy因此dt=一V2g(h=y)sinβ上式两边从0到h积分，并记1(1.2~41)(y)= sinβ就有"(y)dy=-/2gfi(h)Joh-y记一√2gf（h）=f(h），最后得到("（)dy = f(h)(1.2-42)JeNhy-72-
式中g(y)是未知函数，f(h)是已知函数。式（1.2-42)称为Abel方程，是一种特殊的第一类Volterra方程。它是历史上最早提出的积分方程之一。求出方程（1.2-42)的解g(y)，就可以建立曲线的方程。由式（1.2-41)。可得=ui(β)y=gLsing.但dy=tan3(1.2-43)dadyui()dpd&-所以tanptanβ-[(β= u()因此Ttanp于是得到所求曲线的参数方程r=(),y=()7.人口问题人口增长问题，对全世界今后的发展是一个至关重要的问题。在一定的条件下，预测在某-一时刻t人口总数n"（t)的问题，就化为解一个积分方程。设在时刻t=0人口总数为no。f(t)是生存函数，它反映了在时刻t=0出生且在年龄为t时生存的人数在人口总数中所占的比率，图1.3所示的是生存函数(t)的图形。在时刻：生存的人数为f(0)(1.2-44)n,(t) nof(t)第式中n(0)=nof(0)=no。通常，由于婴儿诞生，人口数量不断增加。若婴f(t-t)儿的平均出生率为r（t)，则在时刻，的某一个时间f(n)间隔△,，在时刻新增加的人口（如果他们生存下来）年龄为t一t:，由图1.3可以看出，这部分人活到年龄为tt.的比率为f(t--t)。因此，在时刻t，由于在时刻，的时间间隔△，内新生儿出世，使人口图1.3增加f(t一z,)r(,)△,t。若上述过程在时间区间（0,t)的全部m个子区间内持续进行，就得到和式(1.2-45)f(t -tOr(t)A,tbm(t) =设子区间△的最大值为入，令入-0，就得到由于新出生所增加的人口数为(1.2-46)f(t -t)r(t)dtb(t) =这样，在时刻人口总数为(1.2-47)f(t -t)r(t)dtn(t) = n(t) +b(t) = nof(t) +一设出生率r(t)与时刻t的人口数成比例—13一