设弦开始时是静止的，且只受到水平张力工。的作用，而张力T。与其他力相比很大。由于弦是柔软的，它容易改变形状，而由弯曲或扭转引起的恢复力可忽略不计。于是弦的初始位置是水平的，即与轴重合。设在弦上横坐标x一的点B，处，施以垂直方向的力Pe，F是弦具有折线形状OBA。由于P。与T。相比很小，可设负载点r=处弦的最大挠曲BB。=与OB。及B.A相比很小。因而可以认为在力P。的作用下，弦的张力T。保持不变。把弦在B点的张力与力P。都投影到方向，得到Tsin &, + Tsin ,= P式中1、9.分别是OB、BA与轴的夹角。由于挠曲微小，81、62很小，因而成立以下近似式08sin , an f =sin tan 60于是T=P。+T-EP.(-e)因此Tol当0时，由图1.1可知/，即dPo(l-)y(x)mATol式中（）是弦上横坐标为的点处的位移。当时，有y1-1-rP(l-)s(r)=即Tol记1-5(OT)Tol(1. 2- 1)G(r.5) -1-z6)Tol这样，相应的挠曲曲线之方程为y(r) = G(x,s)P当P=1，即对于单位力(1. 2 - 2)(r) = G(x,E)由式（1.2-1)，显然成立G(E,) =G(E,t)在弦上连续分布的（单位长度上的）强度为（）的负载，作用在弦上=到=十这一微元上的力为p()d，所产生的挠曲为G(r,)p()d.因此，负载分布()产生的挠曲为(1.23)G(e)p(E)dey= y(z)（1）对于上述弦，求负载分布（r），使得在此分布的作用下，弦取给定的形状y一y（）。4
解决这个问题就需要解上述以p(α）为未知函数的积分方程（1.2-3)，该方程为第一类Fredholm积分方程。（2）若已知作用于弦的力随时间t而变，且它在点一的强度为p（）sinwt（w为正常数），则在此负载分布的作用下，弦作微振动，由于振幅微小，可设弦在振动时其上每一点的横坐标不改变，此时弦的振动可以用y一y（r）sinot表示。设弦在r一处的（质量）密度为p()，则在时刻，从点=到+d这段弦同时受到力（）sinwtde及惯性力d"yPEp(）y(）wsinwtdE的作用。此时式（1.2-3）成为dt2y(r)sin wt=G(a,E)Lp(E)sinat+wp(E)y(E)sinutlds约去公因子sinat，就有(a)=("G(r,E)p(E)d+a[G(r,E)p(E)y()ds再设['G(2,E)p()d- f(α)(1.2-4)及G(,E)p() k(,), w2 =^就得到(1. 2-5)y(α) afk(r,E)y(E)de + f(r)当函数p（）为已知，因而f(α）为已知函数时，式（1.2一5)就是一个以3(）为未知函数的第二类Fredhoim积分方程。由式（1.2·1),(G(0,）=G,）=0，再由式（1.2-4)，f(0）=f(I)。2.存贮问题与线性动力系统问题设t)是-个随时间t而改变的量，且它按某种规律与过去或者未来某-一时间区间内的它本身的值相联系。在数学上，g(t)的变化规律可以用以t)为未知函数的积分方程来描述。如果自变不是时间而是空间坐标，情况是同样的。（1）存赔问题一个商店销售某些商品，设进货与售货是一个连续过程，买进的商品可以立即出售。设在商店购进了商品后，在时刻尚未售出商品的比例为（t）。现在要求确定商店进货的速率(t），使得商店所存贮商品的总价值保持不变。设商店在时刻t0购进总价值为A的商品后开始营业，随后同时以速率t）进货，在时间间隔（t，t十dt内，商店购进商品的价值为t)dt，这些商品由于出售而减少。在时刻t>r时，尚未售出商品的价值为k(t-t)p(r)dt因此，在时刻t，尚未售出的商品，及到那时为止所购进商品的价值之和为k(t -r)p(t)drAk(t) +J3按要求，在任何时刻t，商店所贮存商品总价值应保持不变，于是就有[k(t -)p(d(1.2-6)A = Ar(t) +-5
这样，所需确定的进货速率9（t）是积分方程（1.2~6)的解。方程（1.2-6)是个第一类Volterra积分方程。如果任何一种货物可以在时间间隔T内出售，且每：-种货物平均在时间间隔T内售完，则有11-(t≤T)Tk(t) 0(t>T)（2）线性动力系统问题已知一个线性动力系统的输入信号为r（t)，输出信号为y（t)。众所周知，y(t)与r(t)的关系为g(t,r)t(r)dty(t) =式中g（t，t)是由此动力系统确定的权函数。如果当r>t时，g（t，r)=0，且当t<t时，z(t)=0.则上式成为(1.2-7)y(t)g(t,t)r(t)dt这样，当要求从已知输出信号y（）来确定输入信号t）时，就需要在给定y（t)的条件下，解关十r(t)的积分方程（1.2-7）。式（1.2-7)仍是一个第一类Volterra方程。3.常微分方程的定解问题通常，微分方程的初值问题可以化为Volterra方程，常微分方程的边值问题可以化为Fredholm方程。（1）一阶常微分方程的初值问题当1（工，y）满足适当的连续条件，初值问题(dy(a) = f(r,y)(1.2-8)d(1.2 -9)y(0)=C,的解满足方程f(u,y(u)Jdu(1.2-10)y(r) - C+式（1.2-10）是y(）的--个积分方程。若f(，y)关于是线性的，则方程是线性Volterra积分方程；否则是非线性Volterra积分方程。显然式（1.2-10)的任何（阶导数连续的）解，满足方程式（1.2-8)与初始条件式(1.2-9)类似地，关于最高阶（n阶）导数解出的任何n阶徽分方程yaf(r,y,y',",yn)满足条件y(ro)=Co,y(ro)m(,*",yr-v(xo)=Ca-1的定解问题，可以化为等价的非线性Volterra积分方程组。（2）n阶线性微分方程的初值问题系数a;（r)(i=1,2，",n)连续的n阶常微分方程d"-lydry +a(a)drr-+..+a(r)y=F(r)(1.2-11)d.r"6-
满足初始条件y(0) =Co, 3"(0)=C1,**.y("-1)(0)= Ch-1(1.2~12)的定解间题，可以化为解第二类Volterra积分方程。以下以二阶微分方程为例来加以说明。对于二阶方程的初值问题d2y%+ai()器+ a(a)y=F(r)(1.2-13)17dr(1.2~14)y(0) = Co, y(0) = C)设d'y=(r)(1.2-15)d.r3上式两端关于积分利用初始条件式（1.214），依次得到dyt)dt+(1.2-16)dr[o(t)dt + C, Jdu + Codt'p(t)du +Cir + C,(1.2-17)(r-t)ot)d+Cz+C.利用式（1.2-16）、（1.2-17)，可以将定解问题式（1.213）、（1.2-14)化为积分方程[k(r)p(t)de +f(a.)(1. 2 - 18))(1. 2 - 19)式中(r,)=-(ar()+az()(-t))(1.2 - 20)f(r)=F(r)-Ciar(r)-Ciraz(r)-Ca2()式（1.2-18)是-一个第二类Volterra积分方程，求解由式（1.2-19)、（1.2-20)确定的k（r，t)与f(r)所对应的积分方程（1.2-18)，再把解代入式（1.2-17)就可以得到定解问题式（1.2-13）、（1.2-14)的惟--解。对于n阶微分方程的初值问题，可以按与上述类似的方法，并利用下列公式(1.2-21)drdr..(ru）-1f(u)duf(a)dr=(n.-1)!)化为等价的第二类Volterra积分方程。例1.2.1确定下列定解问题[y"-2xy-01.3(0)- "(0) = 1y(0)所对应的积分方程。解设d"y=0(r)da3由式（1.2-21)及初始条件可得4)dt + 1.3dy=(x-)o(t)d=x+1dr
r+#+t)p(t)dt+把以上三式代入原微分方程，就得到积分方程。p(r) :(r-t)0(t)dt++2+利用微分方程定解间题与积分方程的联系，可以把某些特殊的第一类或第二类Volterra积分方程，化为对应的微分方程的定解问题来求解。例1.2.2解积分方程e-pdt=J解设(t)d(1.2 - 22)则 e'y=a,即(1.2-23)y=re-x式(1.2-22)两端对求导：得(1.2-24)y=e"p(r)而式（1.223）两端对求导，可得(1.2~25)y -e-r-.re- (-r)e由式（1.2-24）、（1.2-25），就得到原积分方程的解(r)=1-例1.2.3解积分方程(t)dt -+ er)=解设o(t)d(1.2 -26)于是yirn-o(1.2-27)z)-y+e由式（1.2-26)、（1.2-27)ypr)=y+er这样，原积分方程化为常微分方程的定解问题Jy-y=e'100解之，得y=re。再由式（1.2-27），就得到原积分方程的解r)-re+e-(x+1e*n阶线性常系数微分方程的初值问题8