目录第一章积分方程的概念、分类及来源-1.1积分方程的概念与分类1.2积分方程的来源3参考文献1617习题第二章第二类Fredholm方程18-E1882.1逐次通近法2582.2退化核方程30多2.3Fredholm方法3682.4Fredholm定理45参考文献46习题50第三章对称核方程....I....503.1对称核方程及它的性质56$3.2核关干特征函数的展开式58$3.3选核关于特征函数的展开式61$3.4Hilbert-Schmidt定理64非齐次对称核方程的解$3.568可化为对称核的方程$3.669用Green函数解微分方程的边值间题$3.7723.8Steklov展开定理...73含参数的边值问题及对应的积分方程$3.914对称核的第--特征值正定核$3.1077参考文献77习题81Volterra方程第四章81$4.1第二类Volterra方程87第一类Volterra方程94.289$4.3Abel方程93参考文献94习题97用积分变换解积分方程第五童97多5.1用Fourier变换解卷积型Fredholm积分方程10285.2用Laplace变换解积分方程109$5.3用Mellin变换解积分方程113$5.4Hankel变换有限Hankel变换115参考文献115习题
第一类Fredhoim方程120第六章$6.1#特征值与持征函数退化核方程120SchmidtPicard定理$6.212586.3逐次逼近法127130$6.4母函数法Schlomilch积分方程13386.5135参考文献习题135136第七章积分方程的近似解法136用退化核近似任意核$7.114287.2用数值积分法求积分方程的近似解152$7.3逐次通近法157$7.4待定系数（逼近）法：162求对称核持征值与特征函数的近似方法$7.3172$7.6求般核待征值的近似方法173参考文献173习题175奇异积分方程第八章175$8.1基本概念179$8.2奇异积分方程的解法187$8.3Norther定理.189$8.4奇异积分方程组190参考文献194)习题191积分方程组与非线性积分方程第九章*191积分方程组89.1192非线性第二类Fredhoin方程$.9.2201非线性第-类Fredholm方程4*89.3...202多9.4非线性第二类Voltetta方程2049.5非线性第一类Volterra方程...*205参考文献205可题207附录1广义Leibnitz公式208+..待殊核的Fredholm行列式表附录 2209附录3特征函数表211附录4La.h)空间…213附录5常微分方程定解问题Green函数的求法220附录6Green函数表222附录7Euler积分225附录8Mellin变换表226附录9Hilbrcrt变换与有限Hiltbert变换228附录10Cauchy型积分及其性质237附录11 Ricmann何题·-
第一章积分方程的概念、分类及来源本章介绍与积分方程有关的概念，并对它的分类加以讨论，最后介绍一些引出积分方程的实例。81.1积分方程的概念与分类1．基本概念一般来说，个在积分号下出现待求函数的方程，称为积分方程。含一个未知函数的积分方程的·-般形式为ak(rt)Ft)Jdt+f(a)(a≤z≤b)u(r)g(r) =)(1.1-1)Ja式中f），a(x），(rt)为已知函数；F(t)是t)的已知泛函，u、b为常数。f()称为自由项，k(r，t)称为积分方程的核。入是参数，由于积分方程往往与特征值间题有关，因此通常把积分方程记为上述含参数入的形式。方程可能仅对入的某些值有解，也可能根本没有解。当F.(t)是t)的线性泛函时，称为线性积分方程，它的一般形式为(1. 1 - 2)a()p()=k(,)p(t)d+f()若FL(t)是(t)的非线性泛函，则称为非线性积分方程。如果自变的个数有2个或2个以上，称为多维积分方程，本书要讨论一维积分方程。2.方程的分类积分方程可分为线性方程与非线性方程。对于线性积分方程又可以进：步加以分类按方程的形式分，可以分为第一类、第二类方程。若待求的未知函数（）仅出现在积分号内，称为第一类方程，例如(1.1 ~3)ak(xt)p(t)dt+f()0若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外，则称为第二类方程，例如(1.1-4)9(a) = ah(r,r)p()dt + f(r)若积分限都是常数，称为Fredholm方程；若积分限中有一个是变数，则称为Volterra方程。方程（1.1-3）是一个第一类Fredholm方程。方程r) -a[k(a,t)p(n)d +f(r)(1. 1-5)-1-
称为第二类Fredholm方程。方程k()pdt+f()=0(1. 1 - 6)称为第一类Volterra方程；方程（l.14）称为第二类Volterra方程。Fredholm方程（1.1-5）与Volterra方程（1.1-4)的区别在于积分限，前者的积分限为常数，后者的积分上限为变数。如果在a≤r≤t≤b时取k（r.t）=0，则Volterra方程（1.1-4）（或（1.1-6)）化为Fredholm方程（1.1-5）（或（1.1-3）），因此可以把Volterra方程看成是Fredholm方程的特殊情况。但是由于Volterra方程的理论有独特之处，因此常常把它们分开来加以讨论。对于Fredhoim方程来说，第二类方程解的理论比较完整、完备，而第一类方程的理论至今还不够完整，但由于解决数学物理反问题的需要，第类方程的理论日益受到重视。对于Volterra方程来说，在很多情况下第-一类方程可以化为第二类方程，因此这两类方程的理论没有本质上的差别。积分方程还可以按核的性质加以分类。当(，t)是（t)的连续函数，或者k(2,t)在区域α≤，t≤6虽不连续，但平方可积，即1h()ddt存在且取有限值时，称核（z，t)为非奇性核或Fredholm核。当k(rt)具有以下形式h(t,t)k(t) =ix-t!e式中h（r，t)为有界函数，常数0<α<l，则称为弱奇性核。当（t)具有形式k(,t) a(rt)x-t式中a(，t)关于，的偏导数存在。此时atdth(r,t)p(t)dt -az-在通常意义下是发散的，但如果对()加上一定的限制，可使lim(f"k(r,)p(t)dt +k(r.t)g(t)dt)+存在，此时称k（工，t）为Cauchy奇性核。以上三种核所对应的方程，分别称为非奇性核（连续核）方程、弱奇性核方程、奇异积分方程。弱奇性核方程解的理论与非奇性核方程的理论类似，但奇异积分方程的理论与非奇性核方程的理论有本质的差别。使非奇性核积分方程的一般理论不成立的一类积分方程，统称为奇异积分方程，除了上述含Cauchy奇性核的方程外，它还包括积分限至少有一个为无限的积分方程，例如方程)g(t) . sin at dt等等。—2-
上述各种分类并不能包罗所有可能的积分方程，提出上述这些类型的出发点是，在实际问题或理论问题中出现的积分方程绝大部分可以归入上述方程中的某·-种。积分方程这一学科的基础是由Fredholn和Volterra奠定的，后来Hilbert及Schmidt对它的基本理论也做出了重要的责献本书主要叙述第二类线性积分方程的基本理论与解法，为了适应解决实际问题的需要，对第一类方程及非线性方程、积分方程组、奇异积分方程的理论也做了适当的介绍。此外，对实际中很有效的数值解法也有较详细的说明。81.2积分方程的来源在静电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探等学科中，许多问题的解决可化为解对应的积分方程。常微分方程与偏微分方程的定解问题也可以化为等价的积分方程，解偏微分方程反问题的数值方法，常常导出第一类Fredholm方程。在一个过程中，如果未知函数在点的值仅依赖于邻近点或其他孤立点处的值，就引出常微分方程或偏微分方程的定解问题：如果未知函数的值依赖于它在整个区域（包括边界）上的值，则往往导致积分方程或积分-微分方程。同一个问题有时既可以用微分方程的定解问题又可以用积分方程来描述，而微分方程定解问题本身也可以化为积分方程。积分方程这一数学工具正日益受到重视，这是因为化为积分方程可以降低维数，减少所用节点的个数，缩短计算时间，节省了费用。这样，问题的处理就比较方便，解的性质也显得比较清楚。当边界不特别复杂时，采用积分方程方法更具有突出的优点。把微分方程的定解问题化为积分方程，除了可以降低维数外，还可使得对未知函数（性质上）的限制减弱（只要满足积分方程即可）。此外，这样可以不再通过先寻求微分方程所有可能的解，到最后再利用定解条件来确定满足定解问题的解，而是把满足方程与适合定解条件，同时体现在积分方程这一个紧凑的形式中。用积分形式讨论数学问题往往更容易处理，而且能便于得到理想的结果，这对问题的解决有重要的意义。把常微分方程的定解问题化为积分方程，可以顺利地得到解的存在性与惟一性定理，就是个典型的例子。有些反映扩散与迁移现象的数学问题，不能用微分方程表示，为了解决这些问题，就必须用积分方程来解决，例如中子迁移理论中的一些问题等等。以下介绍引出积分方程的一些实际问题与数学问题。为了适应各方面读者的需要，仅选择比较典型、有代表性的实例，不作全面的介绍IyIP1.弹性弦的曲BM在直角坐标系rOy中，有一条固定在水平x)轴工上两点工=0，1的轻且柔软的弹性弦，在18624(x=I)9Bo(x=t)弦上横坐标为的点M处，有强度为（）的负载，在它的作用下，点M处的位移为y（r）（见图图1.11.1）。如果位移函数y（r）为已知，确定负载强度p(z)的问题就化为解一个积分方程。一3