例2设100件产品中有95件合格品,5件次品,先从中 随机抽取10件,每次取一件,X10件产品中的次品数, (1)有放回的抽取,求的分布律; (2)无放回的抽取,求X的分布律 (3)有放回的情况,求10件产品中至少有2件次品的概率。 解:(1)A一取得次品,P(A)=0.05, ∴X~b(100.05) P{X=k}=C0·0.052:0.95 10-k Tk/10-k (2)Rx={0,1,2,3,45}∴P{X=k}= 595 100 k=O,1,2,3,4,5
例2、设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律； (2)无放回的抽取，求 X的分布律； (3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。 解：(1) A — 取得次品， P(A)=0.05, k=0,1,2,3,4,5
(3)P{X≥2}=1-P{X<2}=1-P{X=0}-P{X=1} 10 1-C0.0.95-C 10 10·0.05.0.95=0.0861 注:明确告知有放回抽样时,是n重贝努利试验;若没有 告知,当总数很大,且抽查元件的数量相对于总数很小, 可以当作放回抽样
(3) 注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有 告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小， 可以当作放回抽样
3、二项分布的图形特点:X~b(n,p) 对于固定n及p,当k增加时,k 概率P(X=k)先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少 当(n+1)p为整数时,二项概率P0m=13,p=0.5 (k)在k=(m+1)p和k=(m+1)Pk p-1处达到最大值 当(n+1)p不为整数时,二项概率 P(X=k)在k=[(n+1)p达到最大 值 10,p=0.7
对于固定n 及 p，当k 增加时, 概率 P( X = k ) 先是随之增加直至 达到最大值 , 随后单调减少. 当(n+1) p 不为整数时，二项概率 P ( X = k ) 在 k =[(n+1) p]达到最大 值； ... n=10, p = 0.7 k Pk 0 3、二项分布的图形特点: 当(n+1) p 为整数时，二项概率P ( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1) p-1处达到最大值. X ~ b(n, p) n=13, p = 0.5 Pk . . .. k 0
例3某人购买彩票,设每次买一张中奖的概率为001, 共买800次,求他至少中奖两次的概率。 解:把每次购买彩票看成一次随机试验 设中奖的次数为X,则X~b(800001) 即P(X=k}=C0×0.01×0.9980(k=01,…,800 P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1-0.99800-800×0.01×099 799 ≈0.997 注:不可忽略小概率事件。P44eg3
例3. P{X = k} = (k = 0,1, ,800) P{X 2} = 800 799 =1− 0.99 −8000.010.99 某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01， 共买800次，求他至少中奖两次的概率。 解:把每次购买彩票看成一次随机试验 设中奖的次数为 X ，则 X ~ b(800, 0.01) 即 k k k C − 800 800 0.01 0.99 1− P{X = 0}− P{X =1} 0.997 注：不可忽略小概率事件。P44.eg3
例4、设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人 处理。考虑两种配备维修工人的办法:1、有四人维护 每人负责20台;2、三人共同维护80台。比较这两种方法 在设备发生故障时不能及时维修的概率。 解:1、设X表示“第一个人维护的20台中同时发生故障 的台数”A表示“第个人维护的20台中发生故障而不 能及时维修”j=1,2,3,4 所以,4个人维护80台,发生故障而不能及时维修的概率 P(AUA2UA3∪A)≥P(A1)=P(X≥2)=0.0169
例4、设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的， 发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人 处理。考虑两种配备维修工人的办法：1、有四人维护， 每人负责20台；2、三人共同维护80台。比较这两种方法 在设备发生故障时不能及时维修的概率。 解：1、设 X 表示“第一个人维护的20台中同时发生故障 的台数” Ai 表示“第i个人维护的20台中发生故障而不 能及时维修”， i = 1,2,3,4 所以，4个人维护80台，发生故障而不能及时维修的概率： ( ) P A1 A2 A3 A4 ( ) P A1 = P(X 2). =0.0169