§33反函数和复合函数的求导法则 一反函数的求导法则 定理4.设函数y=f(x)在x的某领域内连续且严格单 调,y=∫(x)在x处可导,且f(x)≠0.则y=f(x)的反 函数x=p(y在y处可导,且 p(y)=1或r p(y) 证明设x=q(y)在点y的改变量是4y≠O 则4x=(y+4y)-90),y=f(x+4x)-f(ax)
1 定理4. 设函数y =ƒ(x)在 x 的某领域内连续且严格单 调, y =ƒ(x) 在 x 处可导, 且 f′(x)≠0. 则 y=ƒ(x)的反 函数 x=φ(y) 在 y 处可导,且 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y f x f x y = = 或 §3.3 反函数和复合函数的求导法则 一.反函数的求导法则 证明 设x = φ(y) 在点 y 的改变量是 Δy ≠ 0. 则 Δx = φ( y + Δ y ) – φ(y) , Δy = ƒ( x + Δ x ) – ƒ(x)
由y=f(x)的连续性和单调性及第二章定理14知:反 函数qy)也连续和单调则当y≠0时有Ax≠0 △y△ 当Δy→>0时,必有△x->0 △x 再由y=f(x)的可导性,则 △v p(y)=lim lim 0△1 △yf(x) △v 而∫(x)≠0,则p(y)≠0→f(1 (y)
2 由 y = ƒ(x) 的连续性和单调性及第二章定理14知: 反 函数φ(y)也连续和单调.则当Δ y ≠ 0 时,有 Δx ≠ 0 1 , x y y x = 当 0 0 → → y x 时，必有 再由 y = ƒ(x) 的可导性, 则 0 0 1 1 ( ) lim lim ( ) y x x y y f x y x → → = = = 1 ( ) 0, ( ) 0 ( ) . ( ) f x y f x y = 而 则
例8.求函数y=a(a>O,a+刀)的导数 解(a2) (og,y y'IyIna =a" Ina 特别地(e)=e 例9.求下列函数的导数 y= arc sin x (2)y=arc cosx )y=arc tan x (4)y=arc cotx (1)解y= arcsin x(-1<x<1)的反函数是 x=sinyi(2 <y< arc sinx sin y) cosy 1-sin2y VI- (-1<x<1 即( arc sinx)= (-1<x<1) 2
3 例8. 求函数 y = ax (a>0, a≠1) 的导数. 1 ln 1 1 ( ) ln ln . (log ) x x a y a a y a a a y = = = = 解 例9. 求下列函数的导数. (1) y = arc sin x (2) y = arc cos x (3) y = arc tan x (4) y = arc cot x (1) arcsin ( 1 1) sin ( ) 2 2 y x x x y y = − = − 解 的反函数是 ( ) . x x 特别地 e e = 1 1 ( sin ) (sin ) cos arc x y y = = 2 1 ( sin ) ( 1 1). 1 arc x x x = − − 即 2 2 1 1 ( 1 1) 1 sin 1 x y x = = − − −
同理:( arc cos x)= 1(-1<x<1 ( 3(arc tan x) (tan y) sec y 1+tany 1+x 同理( arc cotx) 1+x
4 1 (3)( tan ) (tan ) arc x y = 2 2 2 1 1 1 sec 1 tan 1 y y x = = = + + 2 1 ( cot ) . 1 arc x x = − + 同理 2 1 ( cos ) ( 1 1) 1 arc x x x = − − − 同理:
二复合函数的求导法则 定理5.如果函数u=q(x在点x可导,y=f(l)在对 应的点u处可导则复合函数y=f[q(对在点x处也可 导,且其导数为{fp(x)}=f(u)·g'(x) 即 dy dy du dx du dx 或J=y2(函数对中,中对自) 证明设x取得改变量Ax,中间变量u有相应△ →函数y有相应△y. 则当△≠0时有4=2.M △△r 由u=p(x)可导则必连续→当△x→>0时△→>0
5 定理5. 如果函数u = φ(x)在点x处可导, y=ƒ(u)在对 应的点u 处可导,则复合函数 y=ƒ[φ(x)] 在点 x 处也可 导, 且其导数为 { [ ( )]}' ( ) ( ) f x f u x = 证明 设 , x x u u 取得改变量 中间变量 有相应 二.复合函数的求导法则 dy dy du dx du dx 即 = x u x 或 y y u = (函数对中,中对自) 函数 . y y 有相应 u 0 , . y y u x u x = 则当 时 有 ( ) 0 0 由 u x x u = → → 可导则必连续 当 时