例题4.3如图,初始时,绳子垂在桌外的长度为b设 绳子总长度为L求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率 解:方法(1):利用动能定理 t=0,v=0 建立作坐标系,重力所作元功为: dw=mdx m=M L L2b b Mdx=-M X 由动能定理得:M(2-b2 Mv2-0 2L L
11 例题4.3 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设 绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率. 解：方法（1）：利用动能定理 − = = L L b Mgdx Mg L x W L b 2 2 2 1 L x dW = mgdx m = M 建立作坐标系，重力所作元功为： 由动能定理得： ( ) 2 2 L b L g v = − ( ) 0 2 1 2 2 2 2 = − − Mv L Mg L b M，L b x o t=0，v=0
方法(2):利用牛顿定律 t=0 0 白牛顿定律得 M,LO du at W dv dl d dx dt p=({(2-b) L 两种方法结果相同
12 方法（2）：利用牛顿定律 ( ) 2 2 L b L g v = − dt dv mg = M g L x g M m dt dv = = 由牛顿定律得 g L x dx dv g v L x dt dx dx dv = = M，L b x o t=0，v=0 两种方法结果相同
例题4.4假定地球的密度是均匀的,并沿地球的直 径钻一个洞,质点从很高的位置h落入洞中 求质点通过地心的速度。 解:矢径方向如图所示,设通过R 地心的速度为 由动能定理: R np2-0= Rth 外十 R R+h 外 R内d
13 例题4.4 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直 径钻一个洞，质点从很高的位置h 落入洞中， 求质点通过地心的速度。 由动能定理： 解：矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为 v0 f dr f dr R R+h R = − − 0 外 内 + − = + R R h R mv f dr f dr 0 2 0 2 1 外 内 O m h R r
又质点在地球内、外受力不同 GM 外 2 内=G,4 m MMr TP3 3 Cr R 3 r GMm m2-0=-∫ R+h dr-ro GMr R GMm(r+3h) R(R+h)
14 2 3 3 3 3 4 3 4 R GMmr r m r R M f G = 内 = 又质点在地球内、外受力不同 dr R GMmr dr r GMm mv R R − = −R+h − 0 2 3 2 0 2 1 ( ) R(R h) GMm R h v + + = 3 0 2 r GMm f 外 =
质点系动能定理 设一个系统内有n个质点,作用于笫个质点的力所作的 功分别为W,由质点动能定理 W=E-E 对所有质点求和 ∑W7=∑E-∑Eo 质点系的动能定理--作用于质点系的力所作的功,等于 该质点系总动能的增量
15 0 Wi Ek Eki i = − 三、质点系动能定理 质点系的动能定理-----作用于质点系的力所作的功，等于 该质点系总动能的增量。 = = = = − n i n i n i Wi Eki Ekio 1 1 1 对所有质点求和： 设一个系统内有n个质点，作用于笫i个质点的力所作的 功分别为 Wi ，由质点动能定理