习题14.5场论初步1，设a=3i+20j-15k，对下列数量场f(x,y,2)，分别计算gradf和div(fa) :(1) (x,y,3)=(r2 +y2 +2);(2) J(x,y,2)= x2 +y2 +22;(3) f(x,y,2)= ln(x? +y2 +2)。解（1)grad f =-(x?+y2+≥2)(xi+yj+zk),div(fa)= -(x2 + y2 +22) (3x + 20y-152)。(2)grad f =2(xi+yi+zk),div(fa)=2(3x +20y-152) 。(3) grad f = 2(x2 + y2 +z)-'(xi+yj+ zk),div(fa)= 2(x2 + y2 + z2)- (3x +20y-152) 。2.求向量场a=xi+y2j+2k穿过球面x2+y2+2=1在第一卦限部分的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。解设:x2+y2+=2=1(x≥0,y≥0,z≥0)，方向取上侧，则所求通量为[[ x'dydz + y' dzdx + 2'dxdy ,Fdel'r'dr="由于[22dxdy=[[(1-x-y)dxdy=8元同理可得「x2dydz=Ly?dzdx=83所以[[x°dydz +y'dzdx +2dxdyT83.设r=xi+yi+zk，r=rl，求：（1）满足divLf(r)r)=0的函数f(r)；（2）满足div[gradf(r)=0的函数f(r)。解（1）经计算得到x2a(f(r)x) = f(r)+ f(r)axa(()= f(r)+ f(r)bdyAa(= f(r)+ F()=Oz所以div[f(r)r)=3f(r)+rf'(r) 。1
习 题 14.5 场论初步 1．设 ，对下列数量场 ，分别计算 和 ： a = 3i + 20 j −15k f x( , y,z) grad f div( fa) （1） f x( , y,z) = + (x y + z ) − 2 2 2 1 2 ； （2） f x( , y,z) = + x 2 2 y + z 2 ； （3） f x( , y,z) = + ln(x 2 2 y + z 2 )。 解（1）grad ( ) ( ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z xi + yj + zk − ， div( ) ( ) (3 20 15 ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z x + y − z − a 。 （2） grad f = 2(xi + yj + zk)， div( fa) = 2(3x + 20y −15z)。 （3）grad f = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (xi + yj + zk)， div( fa) = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (3x + 20y −15z) 。 2．求向量场 穿过球面 在第一卦限部分 的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。 a i j k 2 2 2 = x + y + z x y z 2 2 2 + + = 1 解 设 : 1 ( 0, 0, 0)，方向取上侧，则所求通量为 2 2 2 Σ x + y + z = x ≥ y ≥ z ≥ ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 ， 由于 4 8 (1 ) 1 0 3 2 0 2 2 2 π θ π π = − − = − = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Σ Σ z dxdy x y dxdy d r dr xy ， 同理可得 8 2 2 π = = ∫∫ ∫∫ Σ Σ x dydz y dzdx ， 所以 π 8 2 2 2 3 + + = ∫∫ Σ x dydz y dzdx z dxdy 。 3．设r = xi + yj + zk ，r =|r |，求： （1）满足div[ f (r)r] = 0的函数 f r( )； （2）满足div[grad f (r)] = 0的函数 f r( )。 解（1）经计算得到 r x f r f r x f r x 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) , ( ( ) ) 2 r y f r f r y f r y = + ′ ∂ ∂ r z f r f r z f r z 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， 所以 div[ f (r)r] = 3 f (r) + rf ′(r)。 1
由divf(r)rl=0，得3f(r)+rf(r)=0，解此微分方程，得到f(r)=其中c为任意常数。-(r),(2）由()，(_=f(r)，得到axaxaxx2.2-xar-f'(r)f'(r)+(n),axa(yf(r)r-yVf'(r)+f"(r)aylr14r?--2-af'(r)f(r)+f"(r),0z0r3所以div[grad f(r)] = 22f'(r)+f"(r)。由div[gradf(r)]=0，得2f(r)+rf"(r)=0，解此微分方程，得到f(r)={+c2,7其中c,c,为任意常数。4.计算gradc.rIn(c其中c是常矢量，r=xi+yi+zk，且c·r>0。解设 c=(c,C2,c)，u=c./In(c.r)，则2uououC,C2C= C, +C, +=C+ax-2(c.r)"ay2(c.r)oz2(c-r)所以1cIn(c.grad-2c.r25．计算向量场a=grad arctan沿下列定向曲线的环量：x（1）圆周（x-2)2+(y-2)2=1,z=0，从=轴正向看去为逆时针方向；（2）圆周x2+y2=4,z=1，从z轴正向看去为顺时针方向。解经计算，可得arctana = grad-(-y,x,0) ,x+V2
由div[ f (r)r] = 0，得3 f (r) + rf ′(r) = 0，解此微分方程，得到 3 ( ) r c f r = ， 其中c为任意常数。 （2）由 ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ，得到 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r x f r r r x f r r x x ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r y f r r r y f r r y y ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r z f r r r z f r r z z ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， 所以 2 div[grad f (r f )] (r) f "( ) r = ′ + r 。 由div[grad f (r)] = 0，得2 f ′(r) + rf ′′(r) = 0，解此微分方程，得到 1 2 ( ) c f r c r = + ， 其中c1 ,c2为任意常数。 4. 计算 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ln( ⋅ ) 2 1 grad c r c r 其中c是常矢量，r = xi + yj + zk ，且c ⋅r > 0。 解 设 c = (c1 ,c2 ,c3 ) ， ln( ) 2 1 u = c ⋅r + c ⋅r ，则 2( ) , 2( ) , 2( ) 3 3 2 2 1 1 c r c r c ⋅r = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ c c z c u c y c u c x u ， 所以 c r c c r c r c ⋅ = + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ 2 1 ln( ) 2 1 grad 。 5. 计算向量场 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 沿下列定向曲线的环量： （1）圆周( ) x y − + 2 2 2 2 ( − ) = 1, z = 0，从 轴正向看去为逆时针方向； 1 z （2）圆周 x y 2 2 + = 4, z = ，从 z 轴正向看去为顺时针方向。 解 经计算，可得 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 2 2 1 ( , y x,0 x y = − + )， 2
ijkaaa=0,rota=azaxay-yx0x?+y2x+y2它在除去=轴的空间上是无旋场。（1）设L=((x,y,=)(x-2)+(y-2)=1,==0)，从=轴正向看去为逆时针方向；Z=((x,,=)(x-2)+(y-2)≤1,z=0)，方向取上侧。由于z轴不穿过曲面，根据Stokes公式，[a-ds = [[rot a.ds = 0 。（2）令x=2cos0,y=2sino,z=0，则Ja. ds =[ xdy- ydx _d0=-2元。1 x2+y26.计算向量场r=xyz(i+j+k)在点M(1,3,2)处的旋度，以及在这点沿方向n=i+2j+2k的环量面密度。解由ikjaaarotr:=x(z-y)i+ y(x-z)j+z(y-x)k,Ozaxayxyzxyzxyz可得rotr(M)=-i-3j+4k。向量场r=xyz(i+j+k)在点M(1,3.2)沿方向n的环量面密度为n11lim[r- dr = rot r(M) ..n3°2-M m(2) 7.设a=ai+aj+a.k向量场，f(x,y,z)为数量场，证明：（假设函数ar,a,,a.和具有必要的连续偏导数）(1) div(rot a)=0 ;(2) rot(grad f)=0;(3) grad(diva)-rot(rot a)=Aa 。(aa.oa,.aada.aaaa.证(1)rota:y)zx)Laxay设ar,a,a.二阶偏导数连续，则3
2 2 2 2 rot 0 y z y x x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − + + 0 i j k a = x ， 它在除去 z 轴的空间上是无旋场。 （1）设 { } 2 2 L x = − ( , y,z) (x 2) + ( y − 2) =1,z = 0 ，从 轴正向看去为逆时针 方向； z { } 2 2 Σ = ( , x y,z) (x − 2) + ( y − 2) ≤ 1,z = 0 ，方向取上侧。由于 轴不 穿过曲面 ，根据 Stokes 公式， z Σ d rot d 。 L Σ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫∫ a s a S 0 （2）令 x y = = 2cosθ , 2sinθ ,z = 0，则 2 2 d L L xdy ydx x y − ⋅ = + ∫ ∫ a s 2 0 d 2 π = − θ = − π ∫ 。 6. 计算向量场r = xyz(i + j + k) 在点 M( , 1 3,2) 处的旋度，以及在这点沿 方向n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。 解 由 rot x(z y) y(x z) z( y x) x y z xyz xyz xyz ∂∂∂ = = − + − + ∂ ∂ ∂ i j k r i j − k ， 可得 rot r (M ) = −i − 3j + 4k 。 向量场r = xyz(i + j + k)在点 M( , 1 3,2) 沿方向n的环量面密度为 ⋅ = Σ ∫ ∂Σ Σ→ r dr M m( ) 1 lim rot r (M ) 3 1 ⋅ = n n 。 7. 设 向量场， 为数量场，证明：（假设函数 和 具有必要的连续偏导数） a = ax i + ay j + azk f x( , y,z) a a x y , ,az f （1）div(rot a) = 0； （2）rot (grad f ) = 0； （3）grad(diva) − rot(rot a) = ∆a 。 证（1） rot z y y x x z a a a a a a y z z x x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = − ⎜ ⎟ + − + ⎜ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ a i ⎞ ⎟ ⎠ j k 。 设ax , ay , az 二阶偏导数连续，则 3
aa,(a:aa(a,(oaxdaadardiv(rot a)=0。Ozaxayay(azaz( axaxdy~kjaaa(2) rot(grad f):0。ax02ayafafafax02ay（3）由adivaadivaadivagrad(diva):-1-j+Kaxdyazaa,a'aaaaaa'a.a'aTax2axdyaxozaxdyOy2Oyozaayoaxa'a:az2dyozaxoz以及da,da.da,a.da.daxrotaaxOzOzdyaxay(oaya'axaa.a'arrot(rot a)ay2axay0z2axoza'aa'a,(a'a.a'axa'ar_a'a_a'aoa,1ax?z2ayozaxay)axozax?ay2Oyoz得到grad(diva)-rot(rot a)= Aa,i+Aa,j+ Aa.k =Aa 。8.位于原点的点电荷q产生的静电场的电场强度为qE=(xi+i+zk)，其中r=x2+y2+2，为真空介电常数。4元80m求rotE。()()33=-0，解.4r43zx,3zx()-()=0r4+r4a33=0a(y%()axr4所以rotE=0,(x,y,z)+0。4
div(rot ) = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = y a x a x z a z a z y a y a x z y x z y x a 。 （2）rot (grad f ) y z fff x y z ∂∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 x i j k 。 （3）由 k a j a i a a x y ∂z ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = div div div grad(div ) i j ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = y z a y a x y a x z a x y a x a z x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + 2 2 2 2 z a y z a x z a z x y ， 以及 a i j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y a x a x a z a z a y az y x z y x rot ， rot(rot a) = i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ x z a z a y a x y a x x z y 2 2 2 2 2 2 j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + y z a y a x a x z a x y a x a z a y z a y x x z z y y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 得到 grad(diva) − rot(rot a) = ∆ax i + ∆ay j + ∆azk = ∆a 。 8. 位于原点的点电荷 q 产生的静电场的电场强度为 ( ) 4 3 0 E xi yj zk r q = + + πε ，其中r x = + y + z 2 2 2 ，ε 0为真空介电常数。 求rot E 。 解 0 3 3 3 3 4 4 ⎟ = − + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r yz r yz r y r z z y ， 3 3 x z z r x r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 zx zx r r − + = ， 3 3 y x x r y r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 xy xy r r − + = ， 所以 rot , E 0 = ≠ (x y, ,z) 0。 4
9.设a为常向量，r=xi+yi+zk，验证：(1) -(axr)=0;(2) Vx(axr)=2a;(3) -(r-r)a)=2r.aoaaaaxayaz证（1)-(axr)=axaya.Xy1(a,=-a.y) , a(ax-a=)+ o(axy-a,x)=0axayOzikjaaa(2)Vx(axr)=axOzaya,z-ayax-azay-a,x=2(ai+a,j+a,k)=2ao(ax)+a(a,y)+2(a:)=2r.a。V.(r·r)a)= (3)axdyOz10.求全微分(x2-2yz)dx+(y2-2xz)dy+(22-2xy)dz的原函数。解记 a=(x2-2yz)i+(y2-2xz)j+(=2_2xy)k，由于,--2y, --2-aa: =-2x3州zOzayaxaxoy所以向量场a=(x2-2yz)i+(y2-2xz)j+(=2-2xy)k是一个无旋场，其原函数为AE(x2-2yz)dx+(y-2xz)dy+(2-2xy)dz+CU(x,y,z)= [(0.0.0)I(x + y* +2)-2xy2+C 。J x2dx+f' y'dy+ fi(2 -2xy)dz =2x-yx+y11.证明向量场a=j（x>0)是有势场并求势函数。x2 + y2x? + y?证当x>0时，小()dx-yOvl x? + y?所以向量场a是有势场，其势函数为() (x-y)dx+(x+ y)dy +CV(x,y)=-U(x,y)=-[ox2 + y+dy+C=-arctan=-↓ln(r*+y")+C。Jox?+yx212.证明向量场a=(2x+y+2)yzi+(x+2y+2)zxj+(x+y+2z)xyk是有势场，5
9. 设a为常向量，r = xi + yj + zk ，验证： （1）∇ ⋅(a × r) = 0 ； （2）∇ × (a × r) = 2a ； （3）∇ ⋅((r ⋅r)a) = 2r ⋅ a 。 证（1） x y z a a a x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅(a × r) = 0 ( ) ( ) ( ) = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = z a y a x y a x a z x a z a y y z z x x y 。 （2） ( ) y z z x x y x y z a z a y a x a z a y a x ∂ ∂ ∂ ∇ × × = ∂ ∂ ∂ − − − i j k a r 2( ) x y z = + a a i j + a k = 2a 。 （3） 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 x y z a x a y a z x y z ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ ⋅ = + + = ⋅ ∂ ∂ ∂ r r a r a 。 10. 求全微分( ) x y 2 2 − + 2 2 z dx ( ) y − xz dy + (z 2 − 2xy)dz的原函数。 解 记 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k ，由于 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy y a z x a x a y z a z a x y az y x z y x ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 2 , 2 , 2 ， 所以向量场 是一个无旋场，其原函 数为 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy ( , , ) 2 2 2 (0,0,0) ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y z U x y z = x − yz dx + y − + xz dy z − + xy dz C ∫ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( 2 ) ( ) 2 3 x y z = + x dx y dy + z − xy dz = x + y + z − xyz C ∫ ∫ ∫ + 。 11.证明向量场 ( 0) 2 2 2 2 > + + + + − = x x y x y x y x y a i j 是有势场并求势函数。 证 当 x > 0时， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ = + − − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x xy x y x y y ( ) ， 所以向量场a是有势场，其势函数为 ( , ) 2 2 (1,0) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x y x y dx x y dy V x y U x y C x y − + + = − = − + + ∫ 2 2 2 2 1 0 1 arctan ln( ) 2 x y dx x y y dy C x y C x x y x + = − − + = − − + + + ∫ ∫ 。 12.证明向量场a = (2x + y + z) yzi + (x + 2y + z)zxj + (x + y + 2z)xyk 是有势场， 5