第十五章含参变量积分习题15.1含参变量的常义积分1．求下列极限：dx(1) lim1+x2+α2dx(2)limn解（1）由积分中值定理，可得dxdxdx1+x2+α?1+x2+1+x2+dxα（=在1与1+α之间），1+g?+α?01+x?+α?于是dxdxα1limlim+lim1+x2+αα-01+g?+α?+x2+α20-0元dx4（2）由连续性定理，dxdxde2elim [olte111+2．设f(x,y)当y固定时，关于x在[a,b]上连续，且当y→yo-时，它关于y单调增加地趋于连续函数(x)，证明lim_J"f(x, y)dx =,p(x)dx o证若能证明limf(x,y)=(x)关于xe[a,b]是一致的，即Vs>0,38>0, Vye(yo -8,yo), Vxe[a,b]: [f(x,)-d(x)<6, 则[r"(5(x,y)-0(x)dx≤ [,1(x, y) -0(x)lax<(b-a)e,就有lim_"f(x, y)dx = Jo(x)dx o以下用反证法证明 lim f(x,J)=(x)关于xe[a,b)是一致的。若不然，则3s>0，8>0，3ye(-8,%)，3xe[a,b]:-
第十五章 含参变量积分 习 题 15.1 含参变量的常义积分 1． 求下列极限： （1） ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx ； （2） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx 。 解（1）由积分中值定理，可得 ∫ ∫ ∫ + + + + + + + = + + α α α α α 1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 x dx x dx x dx ∫ + + + = 1 0 2 2 1 x α dx 2 2 1 ξ α α + + （ξ 在1与1+α 之间）， 于是 ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx 0 1 0 2 2 0 lim 1 lim → ∫ → + + + = α x α α dx 2 2 1 ξ α α + + = 1 4 1 1 0 2 π = + ∫ dx x 。 （2）由连续性定理， ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx e e e de e dx x x x + = + = − + = ∫ ∫ − − 1 2 ln 1 1 1 0 1 0 。 2．设 f (x, y) 当 y 固定时，关于 在 上连续，且当 时，它 关于 x [a,b] y → y0 − y 单调增加地趋于连续函数φ(x)，证明 ∫ = ∫ → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 。 证 若能证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的，即∀ε > 0， ∃δ > 0， ( , ) 0 0 ∀y ∈ y − δ y ，∀x ∈[a,b]： f (x, y) −φ(x) < ε ，则 ( f (x, y) φ(x))dx f (x, y) φ(x) dx (b a)ε b a b a − ≤ − < − ∫ ∫ ， 就有 ∫ = ∫ 。 → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 以下用反证法证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的。 若不然，则∃ε 0 > 0，∀δ > 0， ( , ) 0 0 ∃y∈ y −δ y ，∃x ∈[a,b]： 1
[f(x, y) -Φ(x)[ ≥80 依次取,=1,(%-i,)，3x, [a,b]:[(x,)-(x)≥;1(0-], 3 0% -8, 0), 3x, [a,b], [(,)-0(,)≥5 ;,=min1,=min3y, e( -on,yo), Ex, e[a,b],[f(xn,y,)-d(x,)≥8 ;yo-yn由此得到两列数列(x(yn)。由于(x(yn)有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列nliymJ，为叙述方便，仍记这两个子列为(nn)，其中(n)是递增的，limy,=。设limx,=5。由(5,)→()(→),可知>0, (--0):[(5,)-0(5)<,2注意limy,=yo，取足够大的使得-s<yk-%<0，从而1(5,yx)-(5)< 。又f(x,yk)-(x)在x=点连续以及limx=5，N>0,当n>时，成立(m,yx)-0(x,)-(5,yx)-()<于是[f(xn,yk)-d(x,)]<80 c但是对固定的x，当y→yo-时，f(xn,y)关于y单调递增地趋于(x,)，所以当n>max(N,K)时，成立[f(xn,yn)-g(x,)/≤/f(xn,yx)-0(x,)<80 ,这与[F(xn,yn)-Φ(xn)≥60，(n=1,2,)矛盾。3．用交换积分顺序的方法计算下列积分： J'sin(in)-xdx ((1)(b>a>0);x）InxIn1+asinx dx(2)(1>a>0)asinxsinx"-dx = J'sin(in)axf'xdy = J'aofx sin(in)ax解（1)sin In1Indx元二1 +I sin in-In-1nxycoysirV+12
0 f (x, y) −φ(x) ≥ ε 。 依次取 1 δ =1， 1 0 1 0 ∃y y ∈ − ( δ , y ) 1 ， [ , ]： 1 1 1 0 ∃x ∈ a b f x( , y ) −φ(x ) ≥ ε ； 2 0 1 1 min , 2 δ y y ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 0 2 0 ，∃ ∈ y y( −δ , y ) 2 [ , ]， 2 2 2 0 ，∃x ∈ a b f x( , y ) −φ(x ) ≥ ε ； "" 0 1 1 min , n n y y n δ − ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭， 0 0 ( , ) n n ∃ ∈ y y −δ y [ , ] n ∃x ∈ a b ， 0 ( , ) ( ) n n n ， f x y − ≥ φ x ε ； ""。 由此得到两列数列{ } xn ,{yn }。由于{xn },{yn }有界，由 BolzanoWeierstrass 定理，存在收敛子列{ } { } nk nk x , y ，为叙述方便，仍记这两个 子列为{ } xn ,{yn }，其中{yn }是递增的， 0 lim n n y y →∞ = 。设lim n n x ξ →∞ = 。 由 ( , ) ( )( ) f ξ y → φ ξ y → y0 − ，可知∃δ > 0, 0 ∀y y ( 0 − < δ − y < )： 2 ( , ) ( ) 0 ε f ξ y −φ ξ < ， 注意 0 lim y y n n = →∞ ，取足够大的K 使得 0 0 K −δ < − y y < ，从而 2 ( , ) ( ) 0 ε f ξ yK −φ ξ < 。 又 f (x, y ) (x) K −φ 在 x = ξ 点连续以及lim n n x ξ →∞ = ，∃N > 0,当n > N 时， 成立 ( ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 ε f xn yK −φ xn − f ξ yK −φ ξ < ， 于是 0 ( , ) −φ( ) < ε n K n f x y x 。 但是对固定的 xn ，当 y → y0 − 时， f (xn , y) 关于 y 单调递增地趋于 ( ) n φ x ，所以当n > max{N,K}时，成立 0 ( , ) −φ( ) ≤ ( , ) −φ( ) < ε n n n n K n f x y x f x y x ， 这与 0 ( , ) −φ( ) ≥ ε n n n f x y x ，(n = 1,2,")矛盾。 3. 用交换积分顺序的方法计算下列积分： （1） ( 0) ln 1 sin ln 1 0 > > − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx b a x x x x b a ； （2） (1 0) 1 sin sin 1 sin ln 2 0 > > − + ∫ a x dx a x a x π 。 解（1）∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b a y b a y b a dx x dx x dy dy x x dx x x x x 1 0 1 0 1 0 1 sin ln 1 sin ln ln 1 sin ln ， ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 1 ⎛ 0 1 sin ln dx x x y ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 1 0 0 1 1 1 cos ln 1 1 1 sin ln 1 1 dx x x x y x y y y 2
(y+1)2于是1+(y+1)2所以dyrctan(1+b)-arctan(1+a)+(v+1)nxd1+asinx dx(2)2dxlo1-ysin'xy?sin?xgsinxsinxdxdcotxTct,2 sin?xcot2x+1-1元2/1-1所以[2in I+asinx dxdtarcsina1-asinxsinx4．求下列函数的导数：(1) 1(y)=Jie-rydx;y cosxydx;(2) I(y)=[(3) F(1)=I" dxf'sin(x2 +y2 -t)dy 。解(1) I'(y)=2ye--e--["x2e-xydx。-, sin()d=3cosy'-2co(2) I"(o)= 2cosy*-cosy2_J(3)设g(x,)=[*sin(x2+y2-°)dy，则g,(x,1) = -2fcos(x2 + y2 -1’)dy+ sin(2x2 +2x1)+sin(2x2 -2x1) ,所以F(1) = J。 g(x,)dx + 21g(2,1)-21f dx[cos(xr2 + y2 -1)dy+2f sin 2x2 cos2xtdx3
∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 0 1 cos ln 1 1 dx x x y y ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 1 2 0 0 1 1 2 1 sin ln ( 1) 1 1 cos ln ( 1) 1 dx x x x y x y y y ， 于是 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 1 ⎛ 0 1 sin ln dx x x y 2 1 ( 1) 1 + + = y ， 所以 ∫ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 1 ⎛ 0 ln 1 sin ln dx x x x x b a = + + = ∫ b a y dy 2 1 ( 1) arctan(1+ b) − arctan(1+ a)。 （2）∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = − + 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 1 sin 2 1 sin 2 1 sin sin 1 sin ln π π π y x dx dy y x dy dx x dx a x a x a a ， ∫ − 2 0 2 2 1 sin π y x dx 0 2 2 2 2 0 2 2 1 cot arctan 1 1 cot 1 cot π π y x x y y d x − − = − + − = −∫ 2 2 1− y = π ， 所以 = − = − + ∫ ∫ a y dy x dx a x a x 0 2 2 0 1 1 sin sin 1 sin ln π π π arcsina 。 4. 求下列函数的导数： （1） = ∫ − ； 2 2 ( ) y y x y I y e dx （2） ∫ = 2 cos ( ) y y dx x xy I y ； （3） ∫ ∫ 。 + − = + − x t x t t F(t) dx sin(x y t )dy 2 2 2 0 2 解（1） ′ = − − − − 。 5 3 ( ) 2 y y I y ye e ∫ − 2 2 2 y y x y x e dx （2） − − ′ = y y y I y 3 2 2cos cos ( ) ∫ 2 sin( ) y y xy dx= y y y 3 2 3cos − 2cos 。 （3）设 g(x,t) = ，则 ∫ + − + − x t x t sin(x y t )dy 2 2 2 ( , ) 2 cos( ) sin(2 2 ) sin(2 2 ) 2 2 2 2 2 g x t t x y t dy x xt x xt x t x t t = − + − + + + − ∫ + − ， 所以 F′(t) ( , ) 2 ( , ) 2 0 2 g x t dx tg t t t = t + ∫ ∫ ∫ ∫ = − + − + + − 2 2 0 2 2 2 2 0 2 cos( ) 2 sin 2 cos 2 x t t x t t t dx x y t dy x xtdx 3
+21/2'sin(14 -12 + y2)dy 。5.设1(y)=J。(x+y)(x)dx，其中为可微函数，求I"(y)。解I'(o)=2f()+ f, f(x)dx ,I"(v)= 3f(y)+2yf'(y) 。6.设F(y)=[f(x)ly-xldx(a<b)，其中f(x)为可微函数，求F"(y)。解当y≤α时，F(y)=Jf(x)(x-y)dx，于是F'()=-f'f(x)dx, F"(y)=0 ;当y≥b时，F()=Jf(x)(y-x)dx，于是F'(o)=f"f(x)dx, F"(y)= 0;当a<y<b时，F()="f(x)(y-x)dx+[,f(x)(x-)dx，于是F(v)= f'f(x)dx-['f(x)dx, F"()=2f() 。7.设函数f(x)具有二阶导数，F(x)是可导的，证明函数u(x,1)=r(x-an)+ f(x+an)+[F(y)dy满足弦振动方程ua2 ouax?at?u (x,0)= F(x) 。以及初始条件u(x,0)=f(x)，at证直接计算，可得-a(x-a)+ar(++a)[aF(++a)+aF(x-a)],at2auα?-[r"(x-at)+ f"(x+at)]+[F'(x+at)- F'(x-a)],at2=ou=(x-a)+ 'x+am)+[F(+an)-F(x-am)],Oxu-}r(x-an)+(+am)+[F(x+al)-F(x-am)],ax?所以a"u20uataxu (x,0) = F(x)。且显然成立u(x,0)=f(x)at8.利用积分号下求导法计算下列积分：4
∫ + − + − + t t t t t t t y dy 2 2 2 sin( ) 4 2 2 。 5. 设 = ∫ + ，其中 为可微函数，求 y I y x y f x dx 0 ( ) ( ) ( ) f I′′( y)。 解 ′ = + ∫ ， y I y yf y f x dx 0 ( ) 2 ( ) ( ) I′′( y) = 3 f ( y) + 2yf ′( y)。 6. 设F( y) f (x) | y x | dx (a b) ，其中 为可微函数，求 。 b a = − < ∫ f (x) F′′( y) 解 当 y ≤ a 时， = ∫ − ，于是 b a F( y) f (x)(x y)dx ∫ ′ = − b a F ( y) f (x)dx，F′′( y) = 0； 当 y ≥ b时， = ∫ − ，于是 b a F( y) f (x)( y x)dx ∫ ′ = b a F ( y) f (x)dx，F′′( y) = 0； 当a y < < b时， ，于是 ∫ ∫ = − + − b y y a F( y) f (x)( y x)dx f (x)(x y)dx F′( y) = ∫ ∫ − b y y a f (x)dx f (x)dx ，F′′( y) = 2 f ( y)。 7. 设函数 f (x)具有二阶导数，F(x)是可导的，证明函数 [ ] ∫ + − = − + + + x at x at F y dy a u x t f x at f x at ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( , ) 满足弦振动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 以及初始条件 ( ,0) ( ), (x,0) F(x) t u u x f x = ∂ ∂ = 。 证 直接计算，可得 [ ] [ ] ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 aF x at aF x at a af x at af x at t u = − ′ − + ′ + + + + − ∂ ∂ ， [ ] [ ] ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 F x at F x at a f x at f x at a t u = ′′ − + ′′ + + ′ + − ′ − ∂ ∂ ， [ ] [ ] ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 F x at F x at a f x at f x at x u = ′ − + ′ + + + − − ∂ ∂ ， [ ] [ ] ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 2 F x at F x at a f x at f x at x u = ′′ − + ′′ + + ′ + − ′ − ∂ ∂ ， 所以 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 且显然成立 ( ,0) ( ), (x,0) F(x) t u u x f x = ∂ ∂ = 。 8．利用积分号下求导法计算下列积分： 4
(1) [:in(a? -sin’ x)dx (a>1);(2)J,ln(1-2αcosx+α")dx (lαk1);(3) [in(a’ sin x+b cos x)dx 。解（1）设1(a)=[In(a?-sin2x)dx，则2a2a21dx =I'(a)=dcotxoa?-sin?xJoa?cot?x+a?n21acotx元arctanVa?-1Ya?-10Ya?-1于是I(a)= In(a+Va? -1)+C。令a→1+，则C = I(1)= 2[2Incos xdx = -元 ln2 ,所以I(a)= zlna+Va-i2(2）设1(α)={In(1-2αcosx+α2)dx，则I(0)=0。设α0，由于2α-2cosxI'(α)=-dx1-2αcosxtα作变换t=tan=，得到2α-1+(α+ 1)2I'(α)= 4dt[(1-α)? +(1+α)"t j(1 +t2)dtr+oodtL(1-α) +(1+α)?t2(1+α)(1-α+o0dt220,1+↓20(1+α)1所以1(α)=C，再由I(0)=0，得到I(α)=0 (α<1)。(3）设I(a)=[in(a2sin2x+b2cos2x)dx，且不妨设a>0，b>0。当a=b时，I(a)=元lnlal。以下设a+b。由于5
（1） ln( sin ) ( 1) 2 0 2 2 − > ∫ a x dx a π ； （2）∫0 ln(1− 2α cos +α2 ) (|α |< 1) ； π x dx （3）∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx 。 解（1）设I(a) = ∫ 2 − 0 2 2 ln( sin ) π a x dx ，则 I′(a) = ∫ ∫ + − = − − 2 0 2 2 2 2 0 2 2 cot cot 1 2 sin 2 π π d x a x a a dx a x a 0 2 2 2 1 cot arctan 1 2 π − − = − a a x a 1 2 − = a π ， 于是 I(a) = ln(a + a −1) + C 2 。 令a →1+ ，则 C = I(1) = 2 2 ln cos ln 2 0 π π = − ∫ xdx ， 所以 I(a) = 2 1 ln 2 a + a − π 。 （2）设I(α) = ∫ − + π α α 0 2 ln(1 2 cos x )dx，则I(0) = 0。设α ≠ 0，由于 I′(α) = ∫ − + π − α α α 0 2 1 2 cos 2 2cos dx x x ， 作变换 2 tan x t = ，得到 I′(α) = ∫ +∞ − + + + − + + 0 2 2 2 2 2 [(1 ) (1 ) ](1 ) 1 ( 1) 4 dt t t t α α α α ∫ ∫ +∞ +∞ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = 0 2 0 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 2 1 2 t dt t dt α α α α α ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + = 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 t d t t dt α α α α α α = 0， 所以I(α) = C ，再由I(0) = 0，得到 I(α) = 0 （ α <1）。 （3）设I(a) = ∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx ，且不妨设a > 0，b > 0。 当a = b 时，I(a) = π ln a 。以下设 a ≠ b。 由于 5