《经济数学1,2,3》课程教学大纲 、课程基本信息 课程代码:12110105,12110106,12130116 课程英文名称: Economical Mathematics 开课部门:数理科学系公共数学教研室 课程面向专业:经济管理专业 课程类型:必修课 先修课程:无 学分:12 总学时:200(其中理论学时:200:实验学时:0) 课程性质与目的 本课程是经济管理专业的一门重要基础课。一方面它是学习本专业的后续课程的基础:另一方 面通过它的学习培养学生的逻辑思维能力与分析问题和解决问题的能力。 本课程由微积分、线性代数、概率统计三部分组成 三、课程教学内容与要求 微积分部分 (一)集合与函数 1、教学内容与要求 (1)理解集合的概念,会求集合的交集与并集。 (2)理解函数概念,会求函数定义域、函数值。 (3)了解函数的有界性,单调性,奇偶性,以及这些特性反映在图形上的特点。 (4)理解反函数概念,会求函数的反函数 (5)理解复合函数,初等函数,分段函数的概念,熟练掌握基本初等函数的性质和图形 (6)会建立简单的经济问题的函数关系,掌握常见的经济函数及性质。 2、教学重点:函数的性质 教学难点:分段函数 (二)极限与连续 1、教学内容与要求 (1)了解数列极限和函数极限的概念。 (2)熟练掌握极限的四则运算法则。 11
- 11 - 《经济数学 1，2，3》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：12110105,12110106,12130116 课程英文名称：Economical Mathematics 开课部门：数理科学系 公共数学教研室 课程面向专业：经济管理专业 课程类型：必修课 先修课程： 无 学分：12 总学时：200 (其中理论学时：200；实验学时：0 ) 二、课程性质与目的 本课程是经济管理专业的一门重要基础课。一方面它是学习本专业的后续课程的基础；另一方 面通过它的学习培养学生的逻辑思维能力与分析问题和解决问题的能力。 本课程由微积分、线性代数、概率统计三部分组成。 三、课程教学内容与要求 微积分部分 (一) 集合与函数 1、 教学内容与要求 （1）理解集合的概念，会求集合的交集与并集。 （2）理解函数概念，会求函数定义域、函数值。 （3）了解函数的有界性，单调性，奇偶性，以及这些特性反映在图形上的特点。 （4）理解反函数概念，会求函数的反函数。 （5）理解复合函数，初等函数，分段函数的概念，熟练掌握基本初等函数的性质和图形。 （6）会建立简单的经济问题的函数关系，掌握常见的经济函数及性质。 2、教学重点：函数的性质 3、教学难点：分段函数 （二） 极限与连续 1、 教学内容与要求 （1）了解数列极限和函数极限的概念。 （2）熟练掌握极限的四则运算法则
(3)了解两个极限存在准则,会运用两个重要极限求一些数列和函数的极限。 (4)了解无穷小,无穷大的概念及阶的比较,了解二者之间的关系,会用无穷小性质求极限。 (5)理解函数在一点连续及区间上连续的概念 (6)会求函数的连续区间与间断点,并判断间断点类型。 (7)了解连续函数的和、差、积、商的连续性,了解反函数与复合函数的连续性,了解初等函数 的连续性。 (8)了解闭区间上连续函数的几条性质 2、教学重点:两个重要极限,闭区间上连续函数的几条性质 3、教学难点:阶的比较,闭区间上的连续函数的几条性质 (三)导数与微分 1、教学内容与要求 (1)理解导数的概念(包括单侧导数与高阶导数),了解函数的可导与连续的关系 (2)了解导数的实际意义(包括几何上与经济上)。 (3)了解微分的概念,了解微分的几何意义及函数可导与可微的关系,了解微分概念中包含的 局部线性化思想 (4)掌握导数与微分的运算法则,以及导数的基本公式,能熟练地求初等函数的一阶、二阶导 数 (5)掌握隐函数求导法、对数求导法,了解反函数求导法。 (6)掌握导数在边际分析中的应用,了解弹性概念 2、教学重点:导数与微分的运算法则 3、教学难点:导数的概念 (四)中值定理,导数的应用 1、教学内容与要求 (1)了解中值定理的条件与结论,了解中值定理之间的关系,并会进行初步的应用 (2)掌握洛必达法则并会熟练应用洛必达法则求各种未定式的极限 (3)掌握函数增减性、凹凸性判别法,会求函数的极值与拐点。 (4)会求函数的最大值与最小值,掌握函数极值在经济中的应用 (5)会利用导数描绘函数的图形(包括水平渐近线与垂直渐近线) 2、教学重点:洛必达法则求各种未定式的极限 3、教学难点:中值定理的应用,极值在经济中的应用 (五)不定积分 1、教学内容与要求 (1)理解原函数与不定积分的概念与性质。了解原函数存在定理。 (2)掌握不定积分的基本公式
- 12 - （3）了解两个极限存在准则，会运用两个重要极限求一些数列和函数的极限。 （4）了解无穷小，无穷大的概念及阶的比较，了解二者之间的关系，会用无穷小性质求极限。 （5）理解函数在一点连续及区间上连续的概念。 （6）会求函数的连续区间与间断点，并判断间断点类型。 （7）了解连续函数的和、差、积、商的连续性，了解反函数与复合函数的连续性，了解初等函数 的连续性。 （8）了解闭区间上连续函数的几条性质。 2、教学重点：两个重要极限，闭区间上连续函数的几条性质 3、教学难点：阶的比较，闭区间上的连续函数的几条性质 （三） 导数与微分 1、 教学内容与要求 （1）理解导数的概念（包括单侧导数与高阶导数），了解函数的可导与连续的关系。 （2）了解导数的实际意义（包括几何上与经济上）。 （3）了解微分的概念，了解微分的几何意义及函数可导与可微的关系，了解微分概念中包含的 局部线性化思想。 （4）掌握导数与微分的运算法则，以及导数的基本公式，能熟练地求初等函数的一阶、二阶导 数。 （5）掌握隐函数求导法、对数求导法，了解反函数求导法。 （6）掌握导数在边际分析中的应用，了解弹性概念。 2、教学重点：导数与微分的运算法则 3、教学难点：导数的概念 （四） 中值定理，导数的应用 1、教学内容与要求 （1）了解中值定理的条件与结论，了解中值定理之间的关系，并会进行初步的应用 （2）掌握洛必达法则并会熟练应用洛必达法则求各种未定式的极限。 （3）掌握函数增减性、凹凸性判别法，会求函数的极值与拐点。 （4）会求函数的最大值与最小值，掌握函数极值在经济中的应用。 （5）会利用导数描绘函数的图形（包括水平渐近线与垂直渐近线）。 2、教学重点：洛必达法则求各种未定式的极限 3、教学难点：中值定理的应用，极值在经济中的应用 （五）不定积分 1、教学内容与要求 （1）理解原函数与不定积分的概念与性质。了解原函数存在定理。 （2）掌握不定积分的基本公式
(3)掌握不定积分的直接、换元、分部三种积分法 2、教学重点:不定积分的直接、换元、分部三种积分法 3、教学难点:不定积分的换元、分部积分法 (六)不定积分 1、教学内容与要求 (1)理解定积分的概念与性质 (2)掌握微积分基本定理,掌握牛顿一莱布尼茨公式。 (3)掌握定积分的换元与分部积分法。 (4)了解广义积分概念。(*了解I一函数的概念。) (5)掌握定积分的几何应用,会求平面图性的面积与旋转体体积 (6)掌握定积分在经济上的应用,会用定积分来研究某些经济问题。 2、教学重点:定积分的概念与性质,牛顿一莱布尼茨公式。 3、教学难点:变上限函数求导,平面图性的面积与旋转体体积 (七)无穷级数 1、教学内容与要求 (1)理解级数敛散性的概念,了解级数收敛的必要条件与性质 (2)了解正项级数的比较判别法,掌握比值判别法。掌握几何级数与P-级数的敛散性结论。 (3)了解交错级数的莱布尼茨判别法。 (4)了解条件收敛与绝对收敛的概念。 (5)掌握幂级数的概念与计算,熟悉幂级数收敛半径与收敛区间的求法 (6)会用幂级数的性质(逐项可导、逐项可积)求幂级数的和函数 (7)掌握e^,snx,cosx,ln(1+x),(1+x) 的麦克劳林展开式。并会利用这些展开式将 些简单函数展开成幂级数。 2、教学重点:级数收敛的必要条件与性质比值判别法,幂级数收敛半径与收敛区间 3、教学难点:求幂级数的和函数 (八)多元函数 1、教学内容与要求 (1)了解多元函数概念及二元函数的极限。 (2)理解偏导数概念及计算方法。掌握偏导数的求法。 (3)了解全微分的概念,会求多元函数的全微分。 (4)掌握多元复合函数及隐函数的求导法 (5)会用偏导数讨论多元函数的极值,最大值,最小值,了解条件极值的概念,会用拉格朗日 乘数法求条件极值,会求解一些简单的最大值,最小值的应用问题
- 13 - （3）掌握不定积分的直接、换元、分部三种积分法。 2、教学重点：不定积分的直接、换元、分部三种积分法 3、教学难点：不定积分的换元、分部积分法 （六）不定积分 1、教学内容与要求 （1）理解定积分的概念与性质。 （2）掌握微积分基本定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 （3）掌握定积分的换元与分部积分法。 （4）了解广义积分概念。（*了解 − 函数的概念。） （5）掌握定积分的几何应用，会求平面图性的面积与旋转体体积。 （6）掌握定积分在经济上的应用，会用定积分来研究某些经济问题。 2、教学重点：定积分的概念与性质，牛顿—莱布尼茨公式。 3、教学难点：变上限函数求导，平面图性的面积与旋转体体积 （七）无穷级数 1、教学内容与要求 （1）理解级数敛散性的概念，了解级数收敛的必要条件与性质。 （2）了解正项级数的比较判别法，掌握比值判别法。掌握几何级数与 P-级数的敛散性结论。 （3）了解交错级数的莱布尼茨判别法。 （4）了解条件收敛与绝对收敛的概念。 （5）掌握幂级数的概念与计算，熟悉幂级数收敛半径与收敛区间的求法。 （6）会用幂级数的性质（逐项可导、逐项可积）求幂级数的和函数 （7）掌握 x e x x x x x m − + + 1 1 ,sin ,cos ,ln(1 ),(1 ) , 的麦克劳林展开式。并会利用这些展开式将 一些简单函数展开成幂级数。 2、教学重点：级数收敛的必要条件与性质,比值判别法,幂级数收敛半径与收敛区间 3、教学难点：求幂级数的和函数 （八）多元函数 1、教学内容与要求 （1）了解多元函数概念及二元函数的极限。 （2）理解偏导数概念及计算方法。掌握偏导数的求法。 （3）了解全微分的概念，会求多元函数的全微分。 （4）掌握多元复合函数及隐函数的求导法。 （5）会用偏导数讨论多元函数的极值，最大值，最小值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日 乘数法求条件极值，会求解一些简单的最大值，最小值的应用问题
(6)理解二重积分的概念与性质。 (7)掌握二重积分的计算方法(直角坐标,极坐标) 2、教学重点:多元复合函数及隐函数的求导法,条件极值,二重积分的计算方法 3、教学难点:极坐标系二重积分的计算方法 (九)微分方程与差分方程简介 1、教学内容与要求 (1)了解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解等概念 (2)掌握一阶微分方程的求解(可分离变量、齐次、一阶线性微分方程) (3)了解下列几种特殊的高阶微分方程的降阶求法。 y(m)=f(x)y=f(x,y):y=f(y (4)掌握二阶常系数齐次线性方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性方程的解法。 (5)了解一些简单的经济问题的微分方程模型,会建立微分方程数学模型解决一些简单的经济 问题。 (6)了解差分与差分方程的一些基本概念,会解一些特殊的差分方程。 2、教学重点:一阶微分方程的求解,二阶常系数齐次线性方程的解法 3、教学难点:几种特殊的高阶微分方程的降阶求 线性代数部分 行列式 1、教学内容与要求 (1)正确理解n阶行列式的定义,掌握行列式的性质,会运用行列式的性质计算数字和简单的代数 行列式。 (2)理解余子式和代数余子式的概念及按行(列)展开法则,能在行列式的计算与证明中,正 确地运用行列式按一行(列)展开法则。 (3)理解克拉默法则,掌握运用此法则求解线性方程组。 2、教学重点:行列式的计算 3、教学难点:行列式的定义与证明 (二)矩阵及其运算 1、教学内容与要求 (1)理解矩阵的概念,了解单位阵,对角阵,对称阵等特殊矩阵的定义与性质 (2)熟练掌握矩阵的线性运算,乘法运算,转置运算。 (3)理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件,熟练掌握求逆矩阵的方法 *(4)了解矩阵分块的意义与运算 2、教学重点:逆矩阵的概念和矩阵的运算
- 14 - （6）理解二重积分的概念与性质。 （7）掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标） 2、教学重点：多元复合函数及隐函数的求导法，条件极值，二重积分的计算方法 3、教学难点：极坐标系二重积分的计算方法 （九）微分方程与差分方程简介 1、教学内容与要求 （1）了解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解等概念 （2）掌握一阶微分方程的求解（可分离变量、齐次、一阶线性微分方程） （3）了解下列几种特殊的高阶微分方程的降阶求法。 ( ) ( ); ( , ); ( , ) n y f x y f x y y f y y = = = （4） 掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性方程的解法。 （5）了解一些简单的经济问题的微分方程模型，会建立微分方程数学模型解决一些简单的经济 问题。 *（6）了解差分与差分方程的一些基本概念，会解一些特殊的差分方程 。 2、教学重点：一阶微分方程的求解，二阶常系数齐次线性方程的解法。 3、教学难点：几种特殊的高阶微分方程的降阶求法。 线性代数部分 （一） 行列式 1、教学内容与要求 （1）正确理解 n 阶行列式的定义, 掌握行列式的性质, 会运用行列式的性质计算数字和简单的代数 行列式。 （2）理解余子式和代数余子式的概念及按行（列）展开法则, 能在行列式的计算与证明中, 正 确地运用行列式按一行（列）展开法则。 （3）理解克拉默法则, 掌握运用此法则求解线性方程组。 2、教学重点：行列式的计算 3、教学难点：行列式的定义与证明 （二） 矩阵及其运算 1、教学内容与要求 （1）理解矩阵的概念, 了解单位阵, 对角阵, 对称阵等特殊矩阵的定义与性质。 （2）熟练掌握矩阵的线性运算, 乘法运算, 转置运算。 （3）理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件, 熟练掌握求逆矩阵的方法。 *（4）了解矩阵分块的意义与运算。 2、教学重点：逆矩阵的概念和矩阵的运算
3、教学难点:求逆矩阵 (三)矩阵的初等变换与线性方程组 1、教学内容与要求 (1)熟练掌握矩阵的初等变换,弄清初等方阵与矩阵初等变换的关系 (2)理解矩阵秩的概念,掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 (3)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件;并熟练掌 握用行初等变换求线性方程组的通解,掌握含参数的非齐次线性方程组有解的分析方法。 (4)熟练掌握用初等行变换求逆矩阵的方法,并会用该方法求解矩阵方程 2、教学重点:用矩阵的初等变换求矩阵的秩以及如何判断线性方程组有解 教学难点:求矩阵的秩 (四)向量组的线性相关性 1、教学内容与要求 (1)理解n维向量的定义,掌握n维向量的线性运算。 (2)理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解有关的一些重要结论,能利用定义和性质证 明向量组的线性相关性 (3)理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念,掌握最大无关组和向量组秩的求法,并会 将组内其余向量表示为最大无关组的线性组合。 *(4)了解n维向量空间及子空间、基、维数等概念 (5)理解基础解系、通解、特解等概念,理解非齐次方程组解的结构,并能熟练地求解齐次方 程组的基础解系与非齐次方程组的通解、特解,特别是用行初等变换求通解 2、教学重点:向量组的线性相关的概念及判断方法,线性方程组解的结构 3、教学难点:向量组的线性相关的概念和向量组的秩与矩阵秩的证明方法 (五)相似矩阵及二次型 1、教学内容与要求 (1)理解方阵的特征值与特征向量的概念,掌握其求法。 (2)了解正交矩阵与正交变换的概念和性质及无关向量组的正交规范化方法 (3)理解相似矩阵的概念、了解矩阵对角化的充要条件,对给定的实对称矩阵掌握求正交的相 似变换矩阵,使其对角化 (4)掌握二次型及其矩阵表示,掌握用正交变换法及会用配方法将二次型化为标准型 (5)了解惯性定理、二次型的秩、理解正定二次型的概念,会判定给定的一个二次型是否为正 (负)定二次型 2、教学重点:求方阵的特征值与特征向量、二次型化为标准型及判定二次型正定性。 3、教学难点:方阵的对角化
- 15 - 3、教学难点：求逆矩阵 （三） 矩阵的初等变换与线性方程组 1、教学内容与要求 （1）熟练掌握矩阵的初等变换, 弄清初等方阵与矩阵初等变换的关系。 （2）理解矩阵秩的概念, 掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩。 （3）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件；并熟练掌 握用行初等变换求线性方程组的通解, 掌握含参数的非齐次线性方程组有解的分析方法。 （4） 熟练掌握用初等行变换求逆矩阵的方法, 并会用该方法求解矩阵方程。 2、教学重点：用矩阵的初等变换求矩阵的秩以及如何判断线性方程组有解。 3、 教学难点：求矩阵的秩 （四） 向量组的线性相关性 1、教学内容与要求 （1）理解 n 维向量的定义, 掌握 n 维向量的线性运算。 （2）理解向量组线性相关、线性无关的定义, 了解有关的一些重要结论, 能利用定义和性质证 明向量组的线性相关性。 （3） 理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念, 掌握最大无关组和向量组秩的求法,并会 将组内其余向量表示为最大无关组的线性组合。 *（4）了解 n 维向量空间及子空间、基、维数等概念。 （5） 理解基础解系、通解、特解等概念, 理解非齐次方程组解的结构, 并能熟练地求解齐次方 程组的基础解系与非齐次方程组的通解、特解, 特别是用行初等变换求通解。 2、教学重点：向量组的线性相关的概念及判断方法，线性方程组解的结构。 3、教学难点：向量组的线性相关的概念和向量组的秩与矩阵秩的证明方法。 （五） 相似矩阵及二次型 1、教学内容与要求 （1）理解方阵的特征值与特征向量的概念, 掌握其求法。 （2）了解正交矩阵与正交变换的概念和性质及无关向量组的正交规范化方法。 （3）理解相似矩阵的概念、了解矩阵对角化的充要条件, 对给定的实对称矩阵掌握求正交的相 似变换矩阵, 使其对角化。 （4）掌握二次型及其矩阵表示, 掌握用正交变换法及会用配方法将二次型化为标准型。 （5）了解惯性定理、二次型的秩、理解正定二次型的概念, 会判定给定的一个二次型是否为正 （负）定二次型。 2、教学重点：求方阵的特征值与特征向量、二次型化为标准型及判定二次型正定性。 3、教学难点：方阵的对角化