据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型 面对一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决与人们对研究对象的了解程 度和建设模的目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在 特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部规律基本上不清 楚，模型也不需要反映内部特性（例如仅用于对输出作预报），那么就可以用测 试分析。 对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模，即用机理分析建立模型 的结构，用测试分析确定模型的参数。 机理分析当然针对具体问题来做，不可能有同意的方法，因而主要是通过实 例研究(Casestudies)来学习。测试分析有一套完整的数学方法。本课程所说的 数学建模主要是只机理分析 数学假模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质、建模目的等有 关。下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程，如下图所示。 模型准备 模型假设 模型构成 模型检验 模型分析。 模型求解 模型应用 模型准备了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象 数据等，尽量弄清对象的主要特征形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定 用哪一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实 际工作者请教，尽量掌握第一手资料。 模型假设根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素 作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假 设作的不合理或太简单，会导致错误或无用的模型：假设作得过分详细，试图把 复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一部的工作。常常需 要再合理与简化之间作出恰当的折衷
据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。 面对一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决与人们对研究对象的了解程 度和建设模的目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在 特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部规律基本上不清 楚，模型也不需要反映内部特性（例如仅用于对输出作预报），那么就可以用测 试分析。 对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模，即用机理分析建立模型 的结构，用测试分析确定模型的参数。 机理分析当然针对具体问题来做，不可能有同意的方法，因而主要是通过实 例研究（Case studies）来学习。测试分析有一套完整的数学方法。本课程所说的 数学建模主要是只机理分析。 数学假模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质、建模目的等有 关。下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程，如下图所示。 模型准备 模型假设 模型构成 模型检验 模型分析 模型求解 模型应用 模型准备 了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象、 数据等，尽量弄清对象的主要特征形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定 用哪一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实 际工作者请教，尽量掌握第一手资料。 模型假设 根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素， 作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假 设作的不合理或太简单，会导致错误或无用的模型；假设作得过分详细，试图把 复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一部的工作。常常需 要再合理与简化之间作出恰当的折衷
模型构成根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建 立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、 图的模型等。建模时应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你的 模型总希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏 模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各 种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。 模型分析对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的敏感性分析、对假设的强健性分析等。 模型检验把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较， 检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上， 应该修改、补充假设，重新建模，如图中的虚线所示。这一步对于模型是否真的 有用非常关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善， 直到检验结果获得某种程度上的满意。 模型应用应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关，本课程一 般不讨论这个问题。 数学建棋的全过程 数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段 完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如下图所示 现实对象的 表述 信息 （归纳) 数学模型 验证 求解 (演绎 现实对象的 解答 数学模型的 解答 解答 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数学模型的求 解则属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律：演绎是按照普遍原理考察 特定对象，导出结论。因为任何事物的本质都要通过现象来反映，必然要透过偶 然来表露，所以正确的归纳不是主观、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是 不精细的、带感性的，不易直接检验其正确性。演绎利用严格的逻辑推理，对解
模型构成 根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建 立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、 图的模型等。建模时应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你的 模型总希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。 模型求解 可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各 种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。 模型分析 对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的敏感性分析、对假设的强健性分析等。 模型检验 把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较， 检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上， 应该修改、补充假设，重新建模，如图中的虚线所示。这一步对于模型是否真的 有用非常关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善， 直到检验结果获得某种程度上的满意。 模型应用 应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关，本课程一 般不讨论这个问题。 数学建模的全过程 数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段 完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如下图所示。 表述 （归纳） 验证 求解 （演绎） 解答 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数学模型的求 解则属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察 特定对象，导出结论。因为任何事物的本质都要通过现象来反映，必然要透过偶 然来表露，所以正确的归纳不是主观、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是 不精细的、带感性的，不易直接检验其正确性。演绎利用严格的逻辑推理，对解 现实对象的 信息 数学模型 现实对象的 解答 数学模型的 解答
释现象、作出科学预见具有重大意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的 前提，只能在这个前提下保证其正确性。因此，归纳和演绎是辨证统一的过程： 归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。 解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或 者控制的结果。最后，作为这个过程的重要的一环，这些结果需要用实际的信息 加以验证。 上图揭示了现实对象和数学模型的关系。一方面，数学模型是将现象加以归 纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学建模的结果 经受住现实对象的检验时，才可以用来知道实际，完成实践一一理论一一实践这 一循环。 §1.6数学模型的特点和建模能力的培养 通过前面的学习，我们看到用建模方法解决实际问题，首先是用数学语言表 述问题，即构造模型，其次才是用数学工具求解构成的模型。用数学语言表述问 题，包括模型假设、模型构造等，除了需要广博的知识和足够的经验之外，特别 需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。 想象力指人们在原来知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比 较、重新组合、加工处理，创造出新的形象，是一种形象思维活动。洞察力知人 们在充分占有资源的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素， 简化问题的层次，对可以用哪些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出 判断。 比类方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们的运用与想象力、洞察力 有密切关系。类比法注意到研究对象与己熟悉的另一对象具有某些共性，比较二 者相似之处以获得对研究对象的新认识。选择什么对象进行类比，比较哪些相似 的属性，在一定程度上是靠想象进行的。将交通流与水流类比来建立交通流模型 是这方面的例子。理想化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简 化、纯化，使其升华到理想状态，以期更本质地揭示对象的固有规律。在一定条 件下把物体看作质点，把实际位置看成数学上的点、线等理想化的结果。 直觉和灵感在数学建模中往往也起着不可忽略的作用。直觉是人们对新事物
释现象、作出科学预见具有重大意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的 前提，只能在这个前提下保证其正确性。因此，归纳和演绎是辨证统一的过程： 归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。 解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或 者控制的结果。最后，作为这个过程的重要的一环，这些结果需要用实际的信息 加以验证。 上图揭示了现实对象和数学模型的关系。一方面，数学模型是将现象加以归 纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学建模的结果 经受住现实对象的检验时，才可以用来知道实际，完成实践——理论——实践这 一循环。 §1．6 数学模型的特点和建模能力的培养 通过前面的学习，我们看到用建模方法解决实际问题，首先是用数学语言表 述问题，即构造模型，其次才是用数学工具求解构成的模型。用数学语言表述问 题，包括模型假设、模型构造等，除了需要广博的知识和足够的经验之外，特别 需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。 想象力指人们在原来知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比 较、重新组合、加工处理，创造出新的形象，是一种形象思维活动。洞察力知人 们在充分占有资源的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素， 简化问题的层次，对可以用哪些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出 判断。 比类方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们的运用与想象力、洞察力 有密切关系。类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性，比较二 者相似之处以获得对研究对象的新认识。选择什么对象进行类比，比较哪些相似 的属性，在一定程度上是靠想象进行的。将交通流与水流类比来建立交通流模型 是这方面的例子。理想化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简 化、纯化，使其升华到理想状态，以期更本质地揭示对象的固有规律。在一定条 件下把物体看作质点，把实际位置看成数学上的点、线等理想化的结果。 直觉和灵感在数学建模中往往也起着不可忽略的作用。直觉是人们对新事物
本质的极敏锐的领悟、理解或推断，灵感指在人们有意识或下意识思考过程中迸 发出来的猜测、思路或判断。二者都具有突发性，且思维者本人往往说不清它的 来路和道理。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象作出有效的推理和判 断时，凭借相似、类比、猜测，外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的， 带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之 一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处。直觉和灵感不是 凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰难探索 对各种思维方法运用娴熟。相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的 探讨，是激发直觉和灵感的重要因素。 掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，需要作好这样两条：第一，学习、 分析、评价、改造别人作过的模型。首先弄懂它，分析为什么这么作，然后找出 它的优缺点，并尝试改进的方法。第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。 为了这个目的，本课程主要将采取实例研究方法。 散学重点与难点 了解数学建模的一般步骤和方法，体会如何用数学的语言和方法表述和解决 实际问题。 [思考题】 1、§1.2的方桌问题（推广到长方形） 2、跑步问题：在任何5min的时间区间内均不能跑500m,问10min内能否恰好 跑1000m 提示：f)=st+5)-s(0)-500
本质的极敏锐的领悟、理解或推断，灵感指在人们有意识或下意识思考过程中迸 发出来的猜测、思路或判断。二者都具有突发性，且思维者本人往往说不清它的 来路和道理。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象作出有效的推理和判 断时，凭借相似、类比、猜测，外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的， 带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之 一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处。直觉和灵感不是 凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰难探索 对各种思维方法运用娴熟。相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的 探讨，是激发直觉和灵感的重要因素。 掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，需要作好这样两条：第一，学习、 分析、评价、改造别人作过的模型。首先弄懂它，分析为什么这么作，然后找出 它的优缺点，并尝试改进的方法。第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。 为了这个目的，本课程主要将采取实例研究方法。 [教学重点与难点] 了解数学建模的一般步骤和方法，体会如何用数学的语言和方法表述和解决 实际问题。 [思考题] 1、§1．2 的方桌问题（推广到长方形） 2、跑步问题：在任何 5min 的时间区间内均不能跑 500m，问 10min 内能否恰好 跑 1000m。 提示： f t s t s t ( ) ( ) ( ) = + − − 5 500
第2章MATLAB语言 散学目的和要求] 了解MATLAB在主要功能，掌握MATLAB的基本命令和语法：会利用 MATLAB编写程序。 散学内容] 1.MATLAB语言的特点与工作原理 2.MATLAB命令与文件的编辑 3.MATLAB语言应用举例 散学重点与难点 MATLAB的基本命令和语法，难点是利用MATLAB编写程序。 [练习实验题] 1、随机产生两个矩阵A,B(都为1Ox10的方阵)，计算A+B和AB 2、计算自然底数e(精确到108)
第 2 章 MATLAB 语言 [教学目的和要求] 了解 MATLAB 在主要功能，掌握 MATLAB 的基本命令和语法；会利用 MATLAB 编写程序。 [教学内容] 1．MATLAB 语言的特点与工作原理 2．MATLAB 命令与文件的编辑 3．MATLAB 语言应用举例 [教学重点与难点] MATLAB 的基本命令和语法，难点是利用 MATLAB 编写程序。 [练习实验题] 1、随机产生两个矩阵 A,B(都为 10x10 的方阵),计算 A+B 和 AB 2、计算自然底数 e(精确到 8 10− )