石河子大学：《数学建模与数学实验》课程授课教案（讲义）

第1章建立数学模型 [散学目的和要求 本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方 法和一般步骤，让学生对数学模型有一个全面的初步的了解。 [教学内容] §1,1从现实对象到数学棋型 本节先讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。 原型和模型 原型(Prototype)和模型(Model)是一对对偶体。原型指人们在现实世界 里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统 (System)、过程(Process)等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命 系统、社会经济系统，又如钢铁治炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染 扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、 实际问题等均指原型。模型则是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、 提炼而构成的原型替代物。 特别强调构造模型的目的性。模型不是原形原封不动的复制品，原型有各个 方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。 一个原型，为了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模 型的目的决定的。例如： 展厅里的飞机模型： 外形上逼真，但是不一定会飞： 航模竞赛的模型飞机：具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求： 飞机设计、试制过程中用大的数学模型和计算机模拟：要求在数量规律上真 实反映飞机的飞行动态特征，毫不涉及飞机的实体。 模型的分类 用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象棋型）和理想 模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模 型、数学模型

第 1 章 建立数学模型 [教学目的和要求] 本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方 法和一般步骤，让学生对数学模型有一个全面的初步的了解。 [教学内容] §1．1 从现实对象到数学模型 本节先讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。 原型和模型 原型（Prototype）和模型（Model）是一对对偶体。原型指人们在现实世界 里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统 （System）、过程（Process）等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命 系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染 扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、 实际问题等均指原型。模型则是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、 提炼而构成的原型替代物。 特别强调构造模型的目的性。模型不是原形原封不动的复制品，原型有各个 方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。 一个原型，为了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模 型的目的决定的。例如： 展厅里的飞机模型： 外形上逼真，但是不一定会飞； 航模竞赛的模型飞机： 具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求； 飞机设计、试制过程中用大的数学模型和计算机模拟：要求在数量规律上真 实反映飞机的飞行动态特征，毫不涉及飞机的实体。 模型的分类 用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想 模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模 型、数学模型

直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型 的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然 的。 物理模型主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅 可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型 的某些规律。如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。 这类模型应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠 性。物理模型的优点是常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间 长、不灵活等缺点。 思维模型指通过人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接 存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。通常说的某些领导者凭 经验做决策就是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获的满意的结果， 是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进 行检验，并且不便于人们的相互沟通。 符号模型是在一些约束或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式 组合起来描绘原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性 强及非量化等特点。 数学模型是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律 的数学公式、图形或算法。 上面数学模型的概念还很模糊，我们下面仔细谈谈什么是数学模型。 数学棋型 什么是数学模型 航行问题：甲乙两地相距750km,船从甲到乙顺水航行需30h,从乙到甲逆 水航行需50h,问船速，水速各若干？ 用x,y分别代表船速和水速，则可以得到如下两个方程 (x+y)·30=750,(xy)·50=750 实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题己转化为纯 粹的数学问题。方程的解x=20kmh,y=5kmh,最终给出了航行问题的答案。 从上例中，我们可以看出建立数学模型的基本内容

直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型 的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然 的。 物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅 可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型 的某些规律。 如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。 这类模型应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠 性。物理模型的优点是常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间 长、不灵活等缺点。 思维模型 指通过人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接 存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。通常说的某些领导者凭 经验做决策就是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获的满意的结果， 是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进 行检验，并且不便于人们的相互沟通。 符号模型 是在一些约束或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式 组合起来描绘原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性 强及非量化等特点。 数学模型 是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律 的数学公式、图形或算法。 上面数学模型的概念还很模糊，我们下面仔细谈谈什么是数学模型。 数学模型 什么是数学模型 航行问题：甲乙两地相距 750km，船从甲到乙顺水航行需 30h，从乙到甲逆 水航行需 50h，问船速，水速各若干？ 用 x，y 分别代表船速和水速，则可以得到如下两个方程 （x+y）·30=750 ，（x-y）·50=750 实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯 粹的数学问题。方程的解 x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。 从上例中，我们可以看出建立数学模型的基本内容

建立数学模型的基本内容： 1根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（上例中，假 设航行中船速和水速为常数)： 2用字母表示待求的未知量（上例中，x,y代表船速和水速）： 3.利用相应的物理或其它规律（上例中，匀速运动的距离等于速度乘以时 间)，列出数学式子（上例中，二元一次方程）： 4.求出数学上的解答（上例中，x=20,y=5): 5.利用解答解释原问题（上例中，船速和水速分别为2Okmh和5kmh)》 6.最后利用实际现象来验证上述结果。 数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的， 根据特有的内在规律，做出一些必须的简化假设，运用恰当的数学工具，等到的 个数学结构。 本课程重点不在于介绍现实对象的数学模型(Mathematical Model)是什么 样子，而是要讨论建立数学模型(Mathematical Modelling)全过程。建立数学模 型简称为数学建模或建模 §1.2建模示例之一椅子能在不平的地面上放稳吗 问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍 微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现 象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？ 模型假设对椅子和地面作一些必要的假设： 1椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方 形。 2地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的 情况)，即地面可视为数学上的连续曲面。 3对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位 置至少有三只脚同时着地 模型构成中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出 来

建立数学模型的基本内容： 1.根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（上例中，假 设航行中船速和水速为常数）； 2.用字母表示待求的未知量（上例中，x，y 代表船速和水速）； 3.利用相应的物理或其它规律（上例中，匀速运动的距离等于速度乘以时 间），列出数学式子（上例中，二元一次方程）； 4.求出数学上的解答（上例中，x=20，y=5）； 5.利用解答解释原问题（上例中，船速和水速分别为 20km/h 和 5km/h） 6.最后利用实际现象来验证上述结果。 数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的， 根据特有的内在规律，做出一些必须的简化假设，运用恰当的数学工具，等到的 一个数学结构。 本课程重点不在于介绍现实对象的数学模型（Mathematical Model）是什么 样子，而是要讨论建立数学模型（Mathematical Modelling）全过程。建立数学模 型简称为数学建模或建模。 §1．2 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍 微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现 象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？ 模型假设 对椅子和地面作一些必要的假设： 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方 形。 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的 情况），即地面可视为数学上的连续曲面. 3.对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位 置至少有三只脚同时着地. 模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出 来

首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线成正方形，以中心为对称点， 正方形的中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量 表示椅子的位置。在图1中椅脚连线为正方形ABCD,对角线AC与x轴重合， 椅子绕中心点O旋转角度0后，正方形ABCD转至ABCD的位置，所以对角线 AC与x轴的夹角B表示了椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的 竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地 面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量0的函数。 虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要 设两个距离函数就行了。记A,C两脚与地面距离之和为f(0),B,D两脚与地面 距离之和为g(0)f(0),g(0)≥0)。有假设2，f和g是连续函数。又假 设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的0，∫(0)和g(0) 中至少有一个为零。当9=0时不妨设g(0)=0,∫(0)>0。这样，改变椅子的 位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题： 已知f(0)和g(0)是0的连续函数，对任意0，f(0)·g(0)0,且 g(0)=0,f(0)>0。证明存在0，使f(0)=g(0)=0. 模型求解上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单，但是有些粗糙的 种。 将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换。由g(0)=0和f(0)>0可知g (π2)>0和f(π2)=0。 令h(8)f(8)g(8),则h(0)>0和h(π2)0。由f和g的连续 性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在日。(0<0，<π2)使h (,)=0,即f()=g() 最后，因为f(8)·g(8)=0,所以f(8)=g(8)=0. 由于这个实际问题非常直观和简单，模型的解释和验证就略去了。 评注这个模型的巧妙之处在与用一元变量0表示椅子的位置，用的两个函数 表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精

首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线成正方形，以中心为对称点， 正方形的中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量 表示椅子的位置。在图 1 中椅脚连线为正方形 ABCD，对角线 AC 与 x 轴重合， 椅子绕中心点 O 旋转角度  后，正方形 ABCD 转至 ' ' ' ' A B C D 的位置，所以对角线 AC 与 x 轴的夹角  表示了椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的 竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地 面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量  的函数。 虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要 设两个距离函数就行了。记 A,C 两脚与地面距离之和为 f（  ），B,D 两脚与地面 距离之和为 g（  ）（f（  ），g（  ）  0）。有假设 2，f 和 g 是连续函数。又假 设 3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的  ，f（  ）和 g（  ） 中至少有一个为零。当  =0 时不妨设 g（  ）=0，f（  ）>0。这样，改变椅子的 位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题： 已知 f（  ）和 g（  ）是  的连续函数，对任意  ，f（  ）·g（  ）=0，且 g（0）=0，f（0）>0。证明存在 0 ，使 f（ 0 ）=g（ 0 ）=0. 模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单，但是有些粗糙的 一种。 将椅子旋转 0 90 ，对角线 AC 与 BD 互换。由 g（0）=0 和 f（0）>0 可知 g （  /2）>0 和 f（  /2）=0。 令 h（  ）=f（  ）-g（  ），则 h（0）>0 和 h（  /2）<0。由 f 和 g 的连续 性知 h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 0 （0< 0 <  /2）使 h （ 0 ）=0，即 f（ 0 ）=g（ 0 ）. 最后，因为 f（ 0 ）·g（ 0 ）=0，所以 f（ 0 ）=g（ 0 ）=0. 由于这个实际问题非常直观和简单，模型的解释和验证就略去了。 评注 这个模型的巧妙之处在与用一元变量  表示椅子的位置，用  的两个函数 表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精

确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。 §1.3商人怎样安全过河 三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳两人，有他们自己划船。随 从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何 乘船波河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全波河呢？ 模型构成记，y,分别表示地k次渡河前此岸的商人数和随从数，5=（化，y) 定义为状态，显然允许状态集为 s={,y)x=0,y=0,l,2,3x=3,Jy=0,1,2,35x=y=1,2} 4,y,分别表示地k次渡船上的商人数和随从数，山。=(，y,)为决策变量：允许 决策集为 D={u,v1≤u+v≤2：4，v=0,1,2} 状态转移方称 5=3s+(-1)d 求解 §1.4人口增长模型 预报人口增长： （1）指数增长模型 (2)阻尼增长模型 §1.5建立数学模型的方法和步骤 数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、 采用的数学工具不同，所得的模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准 则，使用与一切实际问题的数学建模方法。下面所谓的基本方法不是针对具体问 题而是从方法论的意义上讲的。 数学建模的基本方法 一般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据 对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的 物理过现实意义。§12中的例子就是用的机理分析。测试分析将研究对象看作 一个“黑箱”系统（意思是它的内部机理看不清楚），通过对系统输入，输出数

确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。 §1．3 商人怎样安全过河 三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳两人，有他们自己划船。随 从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何 乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？ 模型构成 记 , k k x y 分别表示地 k 次渡河前此岸的商人数和随从数， ( , ) k k k s x y = 定义为状态，显然允许状态集为 s x y x y x y x y = = = = = = = ( , ) , , , , ; , , , , ; , 0 0 1 2 3 3 0 1 2 3 1 2 , u v k k 分别表示地 k 次渡船上的商人数和随从数， ( , ) k k k d u v = 为决策变量；允许 决策集为 D u v u v u v =  +  = ( , ) ; , , , 1 2 0 1 2 状态转移方称 1 ( )1 k k k k s s d + = + − 求解： §1．4 人口增长模型 预报人口增长： （１）指数增长模型 （２）阻尼增长模型 §1．5 建立数学模型的方法和步骤 数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、 采用的数学工具不同，所得的模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准 则，使用与一切实际问题的数学建模方法。下面所谓的基本方法不是针对具体问 题而是从方法论的意义上讲的。 数学建模的基本方法 一般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据 对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的 物理过现实意义。§1.2 中的例子就是用的机理分析。测试分析将研究对象看作 一个“黑箱”系统（意思是它的内部机理看不清楚），通过对系统输入，输出数