试中a是任何参数。令x是由极大位置,即由 0=f(x,xn,a)=0 : (31) 决定的a的函数。因而 d dx da +f=0+ f.aa (32) 也就是说,当x并非最优变化以使z保持极大值时,z的一阶变化 恰好等于z的变化;只有对高阶项,沿z的变化方向才存在着差 别。可以证明,在约柬极大值情况中,类似的关系也成立。 这就是众所周知的曲线族的包络与其相接触的曲线之间的相 切关系。它在经济学上有许多应用,这里只需提及少数例子。在 瓦伊纳教授与王博士之间的著名争论中,这个问题以有关长期曲 线与短期曲线之间的正确关系的形式出现。短期曲线就是根据 某个固定要素的给定数量,通过使每种产量的总(和平均)成本 极小化绘制而成。长期成本曲线要求,在工厂设备经过最优调整 后,每种产量的总(和单位)成本是最低的。但是,按照我们的理 论,对于第一阶来说,在设备固定时,正如设备经过最优调整时 样,参数产量的变化将引起总(和单位)成本相同的变化。因 此,王博士坚持曲线相切是正确的。 另一个例子也是由瓦伊纳教投提供的。令劳动力边际成本 是在只有劳动力变化从而生产出额外产量的总成本递增率。应该 将其与出现在买主独家垄断理论中的劳动力边际成本相区别,并 且与在所有要素都作最优变化时,与意味着成本的一种成分的增 加的边际劳动力成本相区别。令边际成本是在所有要素作最优变 化时相对于产量的总成本递增率。那么,我们的理论就是,劳动 力边际成本等于边际成本,等于任何其他要素边际成本。正如瓦 伊纳教授以深刻的洞察力所指出的,在边际(即忽略高阶微分系 数),所有要素都是完全无差别的代替物。古典经济学家缺乏无 31
限小的精确概念,被迫使用宽泛外延的边际概念(即李嘉图的无 地租土地和克拉克的著名的无差异地带。)④ 对于有限的移动,无论多么小,高阶項将使极大化(极小 化)量在未知数作最优调整时的变化,与在未知数保持不变时的 交化不同。事实上,由于f;=0,所以, dx d(fi) +∑f;①+」 (33) d da da 当所有x都保持不变时,z的高阶变化由 (34) 给出。又因为有方程(21),所以,前者与后者之差如下: a2- d ∑fi2> (35) da 如果变化的参数对利润或序数效用有不利影响,那么,在产 量和消费对新情况作最优调整时,这种不利影响就更小。如果参 数对利润(等等)有增加的作用,那么,当未知数作最优调整 时,这种增加的作用就更大。 我们还可以推到更高阶的项,可以看到,这些项依赖于∫的 各种偏导数,依赖于dx;/da、d2xw/da2等等。z的变化具有比 x的变化更高的阶。事实上,z的n阶导数最多依赖于x的(n-1) 阶导数。这在上面的方程中已经显示出来了。 辅助约束条件与推广了的勒夏特利埃原理 如果系统的均衡是由极值条件决定的,并且所有的未知数都 是独立的变量,那么,辅助约束条件(由均衡位置所满足的)的
引入不会改变均衡。如果达到了真正的相对极大值,那么,沿任 何方向移动都会引起下降;当然,沿着某些方向的子集合移动也 将是下降的。初看起来似乎是一种很奇怪的程序,其用处就 在于它使我们能够推演出均衡必须满足的必要条件。 因此,如果设备園定,那么,一种变动的要素将被雇用到它 的工资(边际成)等于它的边际价值生产率为止。在长期情况 中,设备不能看成是固定的。不过,短期条件在长期情况中也仍 然成立(但是,反之不然),因为长期总成本不可能处于极小 值。除非短期总成本处于可能达到的最低点。另外,在差别垄断 中,即使当总产量没有给定,而由对成本的考来决定时,任何给 定产量在两个市场(边际收益相等)之间作出最优分配的条件仍 然成立。 在没有辅助约束条件时,与有约束条件的情况相比较,均衡 是怎样被取代的呢?在由于时间滞后等等原因从而其他要素不能 作最优调整时,对一种要素的需求怎样随着它的价格而变化?这 种类型的问题在经济学系统和热力学系统中都很重要。它可以有 个简单的答案。 令z具有如下特殊形式 z=6(xx;…,cn)-a1x1-a2x2-…-anrn (36) 如果所有未知数都是独立的变量,则极大值由均衡条件 0=64(,x0)-a;=0 (i=1,…,n)(37) 来确定,并且 〔H=〔6, 是负定型矩阵。当x的“共轭”参数a变化时,x;如何变化呢? dr h <0 38) 令r个独立的附加线性约束条件的形式如下 33
∑g(x;-x)=0,(日=1,…,r) (39) 式中 的秩为r。 约束条件的引入要求对均衡系统加以修改以呈现出下列形 式 6;+∑λgg;B i=1 t (40) ∑gf°(x;-x°)=0( 式中λ是拉格朗日待定乘子。 令H表示对H加以由系数g所组成的r行和列的边而形成 的行列式,即 0 (B,Y=1 41) 那么,当加上r个辅助约束条件时,x,相对于d的变化由 d si H <0 (42) 给出,如果〔H〕是负定型矩阵,并且矩阵dx,/da是半负定的。 (参见数学附录A,第节)来用惯例 h=oh 方程(38)就成了方程(<42)的一个特例。 对x相对于加上了附加约束条件的a的变化率的影响是什么 呢?根据关于行列式(雅可比)的著名定理,很明显 dx d tt h n+r·鸦十r 34
HH HH 「HHn+r,n (43) H·H 上式的分母为正,因为不管所加的行数为多少,这种加边主 子式的符号必定相同。②因此,上式的两项之差为正。 我们有如下一般定理: dx da dx d da;-1 (44) 同时,不管约束条件的个数为多少,x相对于它自已的参数的变 化永远为负,在没有约束条件时,它是最大的负值,在仅有一个 约束条件时,它是较小的负值。以此类推,直到辅助约束条件的 个数达到可能的最大数,即(n-1)。⑩ 这解释了为什么经济上的长期需求比短期需求更富有弹性。 延长时期允许新要素发生变化,这将引起价格已有变化的要素 发生更大的变化,而不管允许变化的要素与价格已有变化的要素 是相互补充的还是相互竞争的。 经济学上的说明 要指出大量与上述内容有关联的经济学问题,并不困难。首 先,让我们来重复前面分析的结果。 da (45) 这说明第i变量相对于其对应参数的变化的方向与fx,a1(= Bx,a1)具有相同的符号。这个量可以当作判据。如果它的代数 符号是确定的,即是明确地可确定的,那么,ox,/0a的符号也 是确定的。 因此,我们只需证明广泛多样的经济学问题可以公式化以确 35