收入和投资,或者使它们三者都降低。这是一个非常令人不满意 的状况,特别是因为从表面上来看,资本边际效率的增加会降低 利息、收入和投资实属可疑。但是,只有在后面章节引进稳定性 的考察时”才能作出比较明确和合理的推演。在第九章的讨论中 将会证明,稳定性假设给我们在第一种情况中,只留下一种组 合,(-++)在第二种情况中,也只留下一种组合,(++ ),而在第三种情况中则有两种可能性,(+++)或(++ )。除非作出更强的定量假设,否则这最后的含糊之处仍然不 能消除。 还可以提出许多其他经济学例子,但我把它们都留给读者。 在回到极大化行为问题之前,我愿意提到这样一个事实,即在变 量变换下,定性计算并不是不变的。 均衡的极大值条件 让我们来考虑一个由前述变量的单值函数定义的新变量z, z=f(x1…,xna1,…;an) (5) 这里f及其至少二阶偏导数存在,并且在广泛的区域中连续。如 果对于任何预先指定的a值,存在着一组x值(x2°,…,x),对 应于这组x值的z取得极大值,那么,必定有 cm)≤f(c1 )(6) 为了符号的方便起见,这可以写成 f(X,a0≤f(X°a0 (7) 式中X代表自变量(x1;…,x),而a代表自变量(a1…an)。 如果z代表相对于自变量的所有许可值的绝对极大值,那么 f(Xa0)<f(X0,a0) (8) 另一方面,z可能仅仅代表相对于点(x9,a0)的某一限定邻域 中的所有x的极大值。 从数学附录A第I节知道,为了使2成为一个相对极大值, 26
必须满足 z 。,a dr 9 )(9) 和 ∑∑fx;%h;h=0 (10) 式中h是任意数。对于正则相对极大值,后一个条件可以写成 ∑∑f?"h<0 (11) h不全为零。换句话说,这个对称的齐次二次型必须是负定的。 参见数学附录A,第I节。 均衡的位移 方程组(9)可以看成是对应于第二章的方程组(1)的均衡 条件,并且可以假定,根据预先指定的参数能够获得未知数均衡 值的显式解。⑧ 0,…,an0)(i=1,…,n) (12 使用前一章的方法,我们可以通过下式轻易地解出相对于第 k个参数的解值的变化率: dx (i=1,…,m) (13) 式中 j(a,0 =1,…”, k=1,…,m) (14) 象第二章的(8)式一样,我们的解可以写成行列式形式 da (15) 27
式中 0 (16) 而Hu是对应于海賽行列式第i第列的元素的余子式。正如后 文所示,我们能够在许多情况中估计这个表达式的代数符号。以 后在不会造成混乱的地方,我将略去头标零。 首先让我们推导出完全一般性的关系。分别用∂x;/ad乘以 13)式中的第个方程,得到 k fx adak (i1,…,n)(17) 将所有方程对i和,得到 liar ∑习J*1 dandak ∑fx;“koa 18) 但是,根据(11)式,有 ∑∑fx;x;h;h;<0 11 对任何h都成立。特别地,由于 h dx 19) da 得到 习】f;0a10d<0 (20) 或者,根据(18)式,有 a (2L) 因为x1/dd不全为零。用文字叙述如下:这个合成项等于未知 28
数变化率的加权和,其符号必须为正号。然而,这并没有使我们 增加多少知识,因为我们不知道哪一项是正的。 不过,如前所述,我们并非总是对使每一个均衡条件都移位 的参数感兴趣。因为在我们可望估计合成结果之前,需要知道每 个移位的相对的定量的重要性由于这个原因,我们常常把问题 缩小,而考虑那些仅导致一个均衡方程移位的参数。因此,让我 们把注意力限定在其个数与未知数的个数相等的这样一组参数 (a1,…,an)上。我们可以对每个参数编号,编号按各个参数与 其所移位的那个均衡方程相对应的顺序来进行。这样,由于第k个 参数的变化必定不改变所有其他方程,因此有 ∫xh=0 当j≠h (22) 现在,不等式(21)化简成了更简单、更易于应用的条件 f= kdak >0 (23) 用文字叙述为,对现在所考虑的参数种类来说,第个变量相对 于其对应参数的变化率必须与h的符号相同y如果均衡方程的 移位是沿着xk增加的方向,则此变化率为正。 这可以通过(15)式所显示的计算得到证明。根据现在的假 设 dx da (24) 在数学附录A第重节,证明了 H h<0 (k=1,…,n) (25) 是真正极大值的一个条件。因此 d a H (26) 即 29
>0 (27) 我们来更仔细地考察(22)式所表示的假设一一每个参数只 改变一个均衡条件,而不改变所有其他均衡条件—的性质。这 并不意味着第计个参数的变化只引起第i个变量的变化。相反,任何 个参数变化都将典型地引起所有变量的变化 正如我将在后面所讨论的那样,这个假设并不会严重地丧失 一般性,而且还仍然包括现代经济学理论所具有的绝大多数(其 实,很难找出例外)关系。 使(22)式偏微分方程成立的最一般的函数可以写成 z=日(x1,…,xn)+B1(x1,a1)+B2(x2,a2)+… +B"(en,an) (28) 这可以通过逐次微分而得 a2B=0 dxaa 当 ≠(29) Tida 来证明 本章的其余部分,除非另有说明,我将考察这种限制类型的 函数。(21)式的不等式在任何情况中都仍然成立,但直接应用 较少。毕竟,一般性本身并不是目的。一种理论可能极为一般, 以致毫无用处。我们必须寻找的倒是那些具有广泛应用性的简单 理论。 极大化量的位移 我们已经看到了当参数变化时,均衡量(x1,…,xn)是如何 变化的。它们的任何函数也以一种确定的方式变化。特别是,要 极大化的量z也将变化;而其变化规律则采取一种非常简单的形 式。令 2 30