(-2x3+3x2y+6xy2-y8)+iC =(x+iy)s-2i(x+iy)3+C=z3(1-2i)+C. 又因f(0)=0+C=0,则C=0,从而 f(z)=z3(1-2). （9)4=x4-6x2y2+y,f(0)=0. 斯8肥-4-12y-部 y -04=12x2y-4y3=0x· dv=(4x-12xy2)dy+(12x2y-4y3)dx =d(4xy-4xy3)+d(4x3y-4xy3). v=4xy-4xy3+C. 于是f(2z)=x-6x2y2+y+i(4x3y-4xy3+C) =(x+iy)+iC=Z+iC. 因f(0)=0+iC=0,则C=0,所以 f(2)=2*, (10)w=1np,f(1)=0. 因 8u 8p1, 80. 则 dv=do, v=+C. 所以 f(z)=Inp+io+iC=Inlal+iargz+ic =Inz+iC. 30
又因f(1)=0+C=0,则C=0,从而 f (2)=In2, (11)4=P,f(1)=0. 解：因 ap p af =0, 1u=-00=1 (p ap 8p=p, 即 0-o 80. 则 do-pde=d(-lap). v=-Inp+C. 所以 f (z)=o-ilnp+ic =-i(lnp+ip)+iC=-ilnz+iC. 又因 f(1)=0+iC=0,则C=0,从而 f (z)=-ilnz+iC. 3,试从极坐标系中的科希-里曼方程〔”=。加 1 Ov 10u p ap-ap 中消去4或”。 解：该方程可改写为 p8-8, (1) (2) （1)式对P微分一次，(2)式对p微分一次， 31
8品(88)a80 82y (3) -器0 (4) (3)-(4)得 品p8部）+b8器=. (5) 科希一里曼方程还可改写为 Ou 1 Ov oP p a0' (6) 部p部 (7) (6)式对p微分-次，(7)式对p微分一次， o-品(6) (8) 6g·品(-p80) (9) (8)-(9)得 品(e8品)0 (10) 显然，消去”（或4）后的方程(9)（或(10）)即极坐标 系中的拉普拉斯方程(5.2)或(5.3)· S6.平面标量场 1.已知复势f(z)= 2-2+日，试描画等温网。 1 解：由f2)=2-2+日(x-2)+iy+ 1 X-2 -(y+1) (x-2+w+位+ix-2)+y+ 32
得到等温网的两族曲线方程 图1-6 Y-2 (x-2)2+(w+1=C1, y+1 x-2)2+(y+1=C, 或 {(x-2-C)2+(y+1)2=C. 0(x-2)2+(y+1-C2)2=C. 故等温网为：在点(2，-1)跟直线x=2,y=~1相切的 圆族。 2已知流线族的方程为“=常数”，宋复势。 解：如令0=之则= x,0y=0, 从而+，≠0,0。兰不是调和函数。 的改令0=F(t=) 33
则 =F-F的+F〔) =F心（安）n=F“) 应指出：这里必须有v+心，v=0, 即 F〔+F〔)=o } 2 2t 1nF'(t)=- ∫2=-a+1hc F'(t)= 1+23 F0=C.∫4p=Cuarotg+C=Cnaretr￥+C, 所以 这里的记号和，分则代表8和8品、Q和分别代表 80和8 y(下同). )根搭科希一里曼方程8品-一8知 y w,=-0.=C1x+y 34