叶积分〔180) 第三篇数学物理方程 第八章定解问题.18 831.数学物理方程的导出〔184)S32.定解条件C193) §33，二阶线性偏微分方程的分类〔197] 第九章行波法.207 §34.行波法〔207〕 第十章分离变数（傅里叶级数)法.223 §35，分离变数法介绍〔223]§36.齐次的泛定方程（傅里叶级 数法)〔227)§37.非齐次的泛定方程（傅里叶级数法）〔292) 第十一章分离变数（傅里叶积分）法.308 §38，齐次的泛定方程（傅里叶积分法）〔308)§39.非齐次的 泛定方程（傅里叶积分法）〔323) 第十二章二阶常微分方程级数解法本征值问题.332 §40，特殊函数常微分方程〔332)§41.常点邻域上的级数解 法〔339)§42.正则奇点邻域上的级数解法〔346) 第十三章球函数.363 §44.轴对称球函数〔363)§45.一般的球函数〔384) 第十四章柱函数.393 §46.贝塞耳两数〔393)§47.球贝塞耳方程〔422)§48.路 积分表示式与渐近公式〔433) 第十五章数学物理方程的解的积分公式.438 §50.格林公式应用于拉普拉斯方程和泊松方程〔438)§51.推 广的格林公式及其应用〔445) 第十六章拉普拉斯变换法.450 S52.拉普拉斯变换法〔450) 第十七章保角变换法.458 §54，某些常用的保角变换〔458) 编后记.487 2
第一篇 复变函数论 第一章复变函数 §1，复数与复数运算 1.下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ (1)121≤2 解一：|之|=x+iy|=Jx2+y2≤2， 或x2+y2≤4. 这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内部。 解二：按照模的儿何意义，」2！是复数2=x+y与原点 间的距离，若此距离总是≤2，则即表示以原点为圆心而半径 为2的圆及其内部。 (2){z-c={2-b1(a、b为复常数)· 解一：设2=x+y,a=a1+ia2,b=b1+b2: z-a|=/(x-a)2+(y-a2)2, |z-b1=1(x-b1)2+(y-b2)2, 于是 (x-a)2+(y-a2)2=(x61)2+(y-b2)2, 即(2y-a2-b2）(b2-a2）=(2x-a1-b)(a1-b1) 亦即
y-+62 2 a1-01 x-+6i62-a, 2 这是一条直线，是一条过点a和点b连线的中点(+6 )且与该连线要直的直线。 解二：等式的几何意义是，点2到定点a和点b的距离相 等的各点的轨迹，即表示点a和点b的连线的垂直平分线. (3)Re2 解：设2=x+y,则Re2=x,放原式为x>分，它表示 x>的半平面，即直线×=号右边的区域（不包括该直线）. (4)12|+Re2≤1· 解：设2=x+iy,则原式即x2+y2≤(1-x),亦即y2≤ 1-2x,它表示抛物线y2=1-2x及其内部. (5)a<arg2<B,a<Rez<b(a、B、a和b为实常数). 解：注意到argz=p,Re2=x,则原二式 卸 sa<p<8, la<x<b. 为两直线x=a、x=b和两射线P=α、P=B所围成的区域 (不包括边界)· (6)0<ar8<子. 好：圆为中8： 2
=Cx+iy-1)〔x-i(y+1D) x+i(y+1)]Cx-i(y+1)) x2+y2-1 -2x =+++ix++D X+iy-Z. 所以，原式即0<arg<牙，如以X钓为实轴，Y轴为虚 轴，上式在复平面Z上表示由射线中。0和中=T所围成的 区域（不包括射线本身），这就意味着要求X>0和Y>0, 即要求 x2+y2-1 -2x ++>0和x+D>0, 亦即 jx<0, (x2+y2-1>0. (1) 又由0<arg2<子得0<aret(Y/X)<年，即 0<are(rg21)k冬 -2x 赤即0<+y2”1<1,注意到(1)式， 则 {-2x>0, 2x<x2+y2-1,即}x2+y+2x-10 (2) 在x<0的条件下，凡满足x2+y2+2x-1>0的点必定也 满足x2+y2-1>0.所以，（1式无需单独提出，而(2)式表 示复平面上的左半平面x<0,但除去圆周(x+1)2+y2=2及其 内部（图1-1）
注意：应排除 5x>0, 1x2+y2-1<0, 及(x+1)2+y2<2 这相当于X<0,Y<0; 图1-1 即<<，<a1号：)这个解， ):e. :-: J(x-1)2+y2 e+D+1, 即(x-1)2+y2≤(x+1)2+. 亦即0≤x,这表示连同Y轴在内的右半平面。 (8)Re()-2. 日 故 Re(2）-x年=2,2x+2y=, 即 (-)+=0 这是中心在(}，0)而半径为}的圆周。 （9)Rez2=a2(a是实常数). 解：22=(x+iy)2=(x2-y2)+i2xy, 故Rez2=x2-y,则原式即为 4