定理1（共鸣定理设X是Banach空间，Y是线性赋范空间,(T)reA是LX,Y)中的一族元素，若(1)suplT,x <o0, Vx e X.则sup T,I 0TEA
定理1 (共鸣定理) 设 是Banach空间， 是线性赋范空间， 是 中的一族元素，若 则 X sup , . (1) A T x x X Y A T L X Y ( , ) sup . A T
证明：设 S, =}x E X : supT,xl≤ n,n = 1,2,TEA则由(1)式可知，X =USnn=1由于每个T都连续，故每个S，都是闭的根据定理1，X是第二纲的，所以必定有某个S不是无处稠密的，即S内部不是空集.从而存在小球U=x:x一xll<=,使得UCS
证明： 设 则由(1)式可知， . n : sup , 1,2, . A S x X T x n n = = 1 n n X S = = 由于每个 都连续，故每个 都是闭的. 根据定理1， 是第二纲的，所以必定有某个 不是无处稠密的，即 内部不是空集. 从 而存在小球 ,使得 T SN Sn X SN U x x x = − : 0 . U S N