8.卷积定理 若Lf()}=F1(s),L2(t)}=F2(s),则 L{f()*f2(1)}=F(s)F2(S) L{F(s)F2(S)}=f1(1)*厂2(t) 该定理表明:原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积;象函数乘积的原 函数等于原函数的卷积。 模拟电子学基础
模拟电子学基础 8．卷积定理 1 2 12 L{ f () () t f t F sF s } () () 1 12 1 2 L F sF s f t f t { ( ) ( )} ( ) ( ) 该定理表明：原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积；象函数乘积的原 函数等于原函数的卷积。 11 2 2 若 ，则 L{ f ( )t Fs L } ( ), { f ( )t Fs } ( ) 2013/6/7 11
11.3)拉普拉斯逆变换 基本要求:掌握常用函数(直流或阶跃函数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变 换。掌握用部分分式展开法求有理分式的原函数。 定义:由F(s)求f)的运算称为拉普拉斯逆变换( inverse Laplace transform), 计算逆变换的一般公式是 f(t=LF(s) F(seds 2 在线性集中参数电路中,电压和电流的象函数都是s的有理分式,可以展开 成部分分式之和的形式,对每个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性 质,将所有部分分式的原函数代数相加,就得所求象函数的原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式 F(S) F(s)b,s"+6-S+.+6,s+b F2 s) a, s"+a-s+.+a,s+ao 式中F()和F2(S)都是实系数的多项式,且无公因式。 模拟电子学基础
模拟电子学基础 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开 成部分分式之和的形式，对每个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性 质，将所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式 1 1 1 10 1 2 1 10 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n F s b s b s bs b F s F s a s a s as a 式中F1(s)和F2(s)都是实系数的多项式，且无公因式。 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换(inverse Laplace transform)， j 1 j 1 ( ) { ( )} ( )e d 2πj st ft Fs Fs s L 计算逆变换的一般公式是 基本要求：掌握常用函数(直流或阶跃函数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变 换。掌握用部分分式展开法求有理分式的原函数。 2013/6/7 12
1.m>m情况 (1)F2()=0只有单根 这时F(s)可以展开成下列简单的部分分式之和: F(s)= ∑ A PI p Pk 式中D1、P2、…P为方程F2(s)=0的n个不同的根,它们可以是实数也可以是 复数。由于→pA时|F)→>∞,故这些根称为F(s)的极点(pole)。A1、A2 An…为待定系数。为了求出其中任何一个常数4A,用(-p)乘上式的两边各项 F(S(S-P) A1(s-p1),A2(s-P) A A(5-PR) 模拟电子学基础
模拟电子学基础 1．n>m 情况 式中p1、 p2 、… pn为方程F2(s)=0的n个不同的根，它们可以是实数也可以是 复数。由于s pk时|F(s)|，故这些根称为F(s)的极点(pole)。 A1、A2、 An…为待定系数。为了求出其中任何一个常数Ak，用(spk)乘上式的两边各项 得 ： 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( )( ) k k nk k k n A s p As p As p Fs s p A sp sp sp 1 2 1 2 1 ( ) n k nk k nk k A A A A A F s s p sp sp sp sp (1) F2(s)=0只有单根 这时F(s)可以展开成下列简单的部分分式之和： 2013/6/7 13
两边取→>P时的极限,等式右边只剩下Ak,其余全为零。于是得 Ak=lim F(S(S-Pu)=lim F(s(s-pR) (k=1,2,…,m) s→>Pk →PF2(S) F(S(s-Pr →PkF2(S) F(S)+Fs)(s-pk) F(pk) =lm s→>Pk F2(S) F2(pk) 将4代入F(s),两边取拉普拉斯逆变换并利用线性性质得 模拟电子学基础
例 114 已知F()=s+73+10 2S+1 ,求它的原函数f(t) 解)令F(s)=s2+72+10s=s(s+2)s+5)=0,求得其根为P1=0,P2=-2 2=-5。因此F(3可以展开成F(=4+2+ sS+2 5+5 2S+1 A=lim S=0.1 5→0s(S+2(s+5) 2S+1 A= lim s(s+2)+y-(s+2)=0.5F(s) 0.10.5-0.6 S→) s 5+2 5+5 2S+1 A= lim (S+5)=-0.6 s→-5S(S+2)(S+5) f(t)=L(F(s)}=0.+0.5e2-06e(≥0) 模拟电子学基础
模拟电子学基础 已知 ，求它的原函数 3 2 f (t)。 2 1 ( ) 7 10 s F s s s s 1 0 2 2 3 5 2 1 lim 0.1 ( 2)( 5) 2 1 lim ( 2) 0.5 ( 2)( 5) 2 1 lim ( 5) 0.6 ( 2)( 5) s s s s A s ss s s A s ss s s A s ss s 0.1 0.5 0.6 ( ) 2 5 F s ss s 1 25 () L { ( )} 0.1 0.5e 0.6e ( 0) t t ft Fs t ∴ 解 令 ，求得其根为 。 3 2 2 F s s s s ss s ( ) 7 10 ( 2)( 5) 0 1 2 p p 0, 2 3 p 5 1 2 3 ( ) 2 5 A A A F s ss s 因此F(s)可以展开成 2013/6/7 15