112)拉普拉斯变换的基本性质 基本要求:掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。 线性性质 若L{f(}=F(s),L(O}=F2(s),a、b为任意常数,则 L{af()+b2(1)}=aF1()+bF2(s) t aF(s)be(s=af(t)+bf(t) 该式表明原函数线性组合的拉氏变换等于各原函数拉氏变换的同一线性组合。 象函数的拉氏反变换亦有相同的线性性质。 例题》111 (1)求f(t)=A(1-e)的象函数F(s)。(2)求f(t)= sin ot的象函数F(s) 解)(1)F(S)=D4(1-e)=(}-AL(emAA么 ss+a s(s+a) (2) F(s)=LSin at=L(el-e o)) Lejor-e o=-( J0 S+J0 S+O 模拟电子学基础 6
模拟电子学基础 11.2 拉普拉斯变换的基本性质 1．线性性质 (1)求 的象函数 ( ) (1 e ) F(s)。 (2)求 的象函数F(s) 。 at ft A f ( ) sin t t (1) ( ) { (1 e )} {1} {e } ( ) at at A A Aa F s L A AL AL s s a ss a j j j j 2 2 1 (2) ( ) {sin } { (e e )} 2j 1 11 1 {e e } ( ) 2j 2j j j t t t t Fs L t L L ss s 12 1 2 1 1 2 12 { ( ) ( )} ( ) ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) L af t bf t aF s bF s L aF s bF s af t bf t 该式表明原函数线性组合的拉氏变换等于各原函数拉氏变换的同一线性组合。 象函数的拉氏反变换亦有相同的线性性质。 11 2 2 若 ， Lft Fs Lf t F s { ( )} ( ), { ( )} ( ) a、b为任意常数，则 基本要求：掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。 2013/6/7 6
2.微分性质 若L{f()}=F(s),则L0}=sF(s)-f0) 该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换后乘以复参 量s,再减去0时刻的起始值。 推论:设D{f(D)}=F(s),则 {f((t)}=s"F(s)-s"f(0 (0 使用该性质可将关于八的微分方程转化为关于F(S)的代数方程,因此它对分 析线性系统有着重要作用。 例题)112 用微分性质求f(1)=coO的象函数Fs)。 d O F(S)=L(cos ot; =L d sin ot; =,(sL(sin t) -sin otle) 模拟电子学基础
模拟电子学基础 2．微分性质 推论：设 ，则 L{ f ( )t Fs } ( ) ( ) 1 2 (1) ( 1) { ( )} ( ) (0 ) (0 ) (0 ) nnn n n L f t sFs s f s f f 使用该性质可将关于f(t)的微分方程转化为关于F(s)的代数方程，因此它对分 析线性系统有着重要作用。 用微分性质求 的象函数 f ( ) cos t t F(s) 。 0 2 2 1d 1 ( ) {cos } { sin } {sin } sin d t s Fs t t s t t t s LL L d () ( ) (0 ) df t sF s f t L 该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换后乘以复参 量s，再减去0-时刻的起始值。 若 ，则 Lft Fs { ( )} ( ) 2013/6/7 7
3.积分性质 若L{(O)}=F(s),则L∫f(5)d5}=F(s) 该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参量s (例题)11.3 求f(t)=t6(t)的象函数F(s) 解)因为 t6(1)=6(5)d5 所以F(s)=L{tE(O)}=L。6(5则5}=L{()} 模拟电子学基础
模拟电子学基础 3．积分性质 求 的象函数 f () () t tt F(s) 。 0 ( ) ( )d t t t 因为 所以 2 0 1 1 ( ) { ( )} { ( )d } { ( )} t Fs t t t s s LL L 0 1 { ( )d } ( ) t f Fs s L 该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参量s。 若 ，则 L{ f ( )t Fs } ( ) 2013/6/7 8
4.延迟性质 若L{f(O}=F(s),则D{(-6)5(t-t)}=e-F(s) 其中f(t-)E(t-t)表示把f(t)延迟t 根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为A,宽度为的 矩形脉冲可表示为 f(t)=A[E(1)-E(t-t0 根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为 F(s=A( S 模拟电子学基础
模拟电子学基础 4．延迟性质 根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为A，宽度为t0的 矩形脉冲可表示为 0 f () [ () ( ) t A t tt } 根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为 0 0 1 1 ( ) ( e ) (1 e ) st st A Fs A ss s 0 0 0 { ( ) ( )} e ( ) st Lft t t t Fs 其中 表示把 延迟 。 0 0 ft t t t ( )( ) f t( ) 0t 若 ，则 Lft Fs { ( )} ( ) 2013/6/7 9
5.位移性质 若L{f(t)}=F(s),则 e f(t)=f(s-a) Re(s-a)>0 该性质表明:一个函数乘以指数函数e的拉氏变换等于其象函数作位移a 6,初值定理 若L{f(t)}=F(s),且 lim sF(s)存在,则 f(02=lim f(t)=lim SF(s) 7.终值定理 若L{f(t)}=F(s),且sF(S)的所有极点都在平面的左半平面,则 f(oo)=lim f(t)=lim SF(S) →)∞ s→>0 模拟电子学基础
模拟电子学基础 5．位移性质 6．初值定理 7．终值定理 该性质表明：一个函数乘以指数函数eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。 {e ( )} ( ) [Re( ) 0] at L ft Fs a s a 若 ，则 L{ f ( )t Fs } ( ) 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s L{ f ( )t Fs } ( ) 0 lim ( ) t sF s 若 ，且 存在，则 0 ( ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s 若 ，且 的所有极点都在平面的左半平面 ，则 L{ f ( )t Fs } ( ) sF s( ) 2013/6/7 10