对于单复根情况,由于F2)的系数为实数,F(S)的复数极点均以共轭复数形 式出现,且对应待定系数也是共扼关系。利用这一特点便可减化计算。设象 函数为 A A S-p s-p 令P=a+jB,4HA1,则p=a-jB,A=A|/-,对上式取逆变换得 f(t=L-F(s))=Aep+aepf j(Bt+8) +e-p+) 模拟电子学基础
模拟电子学基础 对于单复根情况，由于F2(s)的系数为实数，F(s)的复数极点均以共轭复数形 式出现，且对应待定系数也是共扼关系。利用这一特点便可减化计算。设象 函数为 * * ( ) A A F s s p s p 令 ， ，则 ， ，对上式取逆变换得 p a j A A | |/ p a j * A A | |/ 1 j( ) j( ) ( ) { ( )} e e | | e [e e ] 2 | | e cos( ) ( 0) pt pt at t t at ft Fs A A A At t L 2013/6/7 16
例题)M15 s+1 已知F(s)= ,求它的原函数(。 s3+2s2+2s 解)F2(s)=3+232+2=0的根为P=0,P2=a+jB=-1+jP2=P2=-1-j F()的展开式F()= A S-PI S-p2 s-p s+1 A F1(n) 0.5 F2(P)3s2+4s+2- F1(n2) s+1 =A2|∠0=025V2∠-135 F2(P2) 3s2+4s+2ls=p2 A f(t=LF(S)=Ae+2 A le cos(Bt +0) 0.5+0.5√2ecos(t-135°)(t≥0) 模拟电子学基础
模拟电子学基础 已知 ，求它的原函数 3 2 f(t)。 1 ( ) 2 2 s F s s s s 解 Fs s s s 2 () 2 2 0 3 2 的根为 1 2 32 p pa pp 0, j 1 j, 1 j 1 1 1 2 ( ) { ( )} e 2 | | e cos( ) 0.5 0.5 2e cos( 135 ) ( 0) p t at t ft L Fs A A t t t ∴ 1 2 3 123 ( ) A A A F s s p sp sp 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 1 0.5 () 3 4 2 ( ) 1 | | 0.25 2 135 ()3 4 2 s p s p F p s A Fp s s F p s A A Fp s s A A F(s)的展开式 2013/6/7 17
(2)F2(s)=0含有重根 为简便起见,设F24s)=0含有一个m次重根,其余为单根,则F2(S)可以表示为: F2(s=a,(s-Pu)(s-p p-m(s-pu) 此时F(S)的部分分式展开式为 B B F(S) F2()8-P(-P)(SB+…+一 F1(s) S-p 其中单根对应的待定系数A[k=1,2,…,(m-m)与前面的计算相同。下面讨论 重根对应的待定系数。把上式两边各乘以(-pn),得 F1(S) (s-pn)”=(s-pn)∑+Bn+Bn1(s-pn)+…+B(S-Pn S-pi 模拟电子学基础
模拟电子学基础 此时F (s)的部分分式展开式为 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) () ( ) ( ) n m km m m m k kn n n Fs B AB B F s Fs s p s p s p s p 其中单根对应的待定系数 与前面的计算相同。下面讨论 重根对应的待定系数。把上式两边各乘以 ，得 [ 1, 2, ,( )] Ak k nm ( )m n s p 1 1 1 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) n m mm m k n n mm n n k k F s A s p s p B B s p Bs p Fs s p (2) F2(s)=0含有重根 2 12 ( ) ( )( ) ( )( )m Fs as p s p s p s p n nm n 为简便起见，设F2(s)=0含有一个m次重根，其余为单根，则F2(s)可以表示为： 2013/6/7 18
令→>Pn,则上式右边除B项外,其余各项均变为零。而左边为00的不定式, 取极限得(分子分母同除以(s-pn)") B=lim F(s) F1( S Pn F(s) a,(S-P)s-P2)--(s-Pn-m )ls-p 为了求出Bm1,把(1126的两边对s求一次导数,然后令s→>Pn,则右边除 Bm1项以外,其各项均变为零。故得 d f( B Pu) Pn ds F2(s) 仿此可得一般公式为 lim s→ 模拟电子学基础
模拟电子学基础 令s pn ，则上式右边除Bm项外，其余各项均变为零。而左边为0/0的不定式， 取极限得（分子分母同除以 ） 1 1 2 12 () () lim ( ) n ( ) ( )( ) ( ) n m m n s p n nm s p Fs Fs B sp Fs as p s p s p 为了求出 Bm1，把(11.26)的两边对 s 求一次导数，然后令s pn ，则右边除 Bm1项以外，其各项均变为零。故得 1 1 2 d ( ) lim ( ) n d () m m n s p F s B sp sFs 仿此可得一般公式为 1 2 1 d ( ) lim ( ) [ 0,1, ,( 1)] ! d () n k m mk n k s p F s B sp k m k s Fs 2013/6/7 19 ( )m n s p
求出各系数后,可查表得到 的逆变换为 k-1 (s-pn)」(k-1 得F2)=0含有重根时的原函数为 模拟电子学基础