H是对称矩阵。 HHT=H2=(E-2XX) =E-4XX+4(XX)=E-4XX+4X(XX)X =E-4XXT+4XXT=E 例证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和。 证明设C=A+A 则C=(A+)了=+A=C, 所以C为对称矩阵，所以C2也是对称矩阵。 设B=A-A,则B=(A-A)=AF-A=-B, 所以B为反对称矩阵，所以B2也是反对称矩阵。 号号号* 2 三、可逆矩阵 1.概念的引入 在数的运算中，当数a≠0时，有 aa=aa=1 其中a=为a的倒数，（或称a的逆）。 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中1，那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A,使得A4=AA=E,则矩阵A称为A的逆矩阵，A称 为可逆矩阵。 2.逆矩阵的概念 定义设A是一个阶方阵，若存在一个阶矩阵B,使得：AB=BA=E, 则称矩阵A可逆，且称B是的逆矩阵，记作A,即A'=B. 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 1
14 ∴H是对称矩阵。 2 2 (2 ) T T HH H E XX = =− 4 4( )( ) 4 4 ( ) T T T T TT =− + =− + E XX XX XX E XX X X X X 4 4 T T =− + = E XX XX E 例 证明任一n 阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和。 证明 T 设C AA = + ( ) T TT T 则 ， C AA A AC = + = += 所以 C 为对称矩阵，所以 C/2 也是对称矩阵。 T 设B = − A A ， ( ) T TT T 则 ， B = − = − =− AA A A B 所以 B 为反对称矩阵，所以 B/2 也是反对称矩阵。 2 2 22 T T AA AA C B A + − 而 ，证毕。 = + =+ 三、 可逆矩阵 1. 概念的引入 在数的运算中，当数a ≠ 0时，有 1 1 aa a a 1 − − = = 其中 1 1 a a − = 为a 的倒数，（或称a 的逆）。 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 1，那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵 1 A− ，使得 1 1 AA A A E − − = = ，则矩阵 1 A− 称为 A的逆矩阵，A称 为可逆矩阵。 2. 逆矩阵的概念 定义 设 是一个 阶方阵 若存在一个 阶矩阵 A n nB , , 使得: , AB BA E = = 1 1 A BA A A B ,,. − − 则称矩阵 可逆 且称 是 的逆矩阵 记作 ，即 = 例 设 1 1 12 12 , , 1 1 12 12 A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ∵ AB BA E = = ,∴B A 是 的一个逆矩阵. 说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的
证明：若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的，即B=C=A。 州镜4一日小来A价烟陆 解利用待定系数法 腰a一已的医A的地矩库 则 4B=2Ia6-1o -10八cdF01 「2a+c=l,「a=0 -2-6-d8- c=1, -b=1, 考查： a-日9-9-6 所以 r0 3.逆矩阵的运算性质 ()若4何逆，则4Γ亦可逆，且(4)°=A (2)若A何逆，数a≠0，则4何逆，且(aA)= (3)若A可逆，则A也可逆，且(A)=(A)。 证明A(A)=(AA=E=E （4）=(A）。 (4)若AB为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)=B
15 证明： 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB BA E AC CA E = = == , 可得 B == = == EB CA B C AB CE C ( ) ( ) 所以 A 的逆矩阵是唯一的，即 1 B C A− = = 。 例 设 2 1 1 0 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，求 A 的逆矩阵。 解 利用待定系数法 设 a b B c d ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠是 A 的逆矩阵， 则 2 1 10 10 01 a b AB c d ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 1, 0, 2 2 1 0 2 0, 1, 0 1 0, 1, 1, 2. ac a ac bd bd b ab a c b d ⎧ ⎧ + = = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + + = =− ⇒ =⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎨ ⎨ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − −= = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ − = = 考查： 2 1 0 1 0 1 2 1 10 10 1 2 1 2 10 01 AB BA ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − = == = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − ， 所以 1 0 1 1 2 A− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 3. 逆矩阵的运算性质 ( ) ( ) 1 1 1 1, , . A A AA − − − 若 可逆 则 亦可逆 且 = () ( ) 1 1 1 2 , 0, , . A A AA λλ λ λ − − 若 可逆 数 则 可逆 且 ≠ = (3)若 A 可逆，则 T A 也可逆，且( ) ( ) 1 1 T T A A − − = 。 证明 ( )( ) 1 1 T T T T A A AA E E − − ∵ = == () ( ) 1 1 T T A A − − ∴ = 。 () ( ) 1 1 1 4, , , A B AB AB B A − − − 若 为同阶方阵且均可逆 则 亦可逆 且 =
证明（AB)(BA）=A(BB）=AEA=AM=E ∴(AB)=BA。 推广(44…A)=A…4。 123 13 4a:ge 求矩阵X使满足AXB=C。 13-2) （11-1 又由AXB=C→AXBB=A'CB→X='CB 于是X=A'CB 中那 (-21 10-4 (-104 例设方阵A满足方程A2-A-2E=0,证明A,A+2E都可逆，并求它们的 逆矩阵。 证明由--25=0，44-)-2,44二-故何。 =(4-E) 又由A?-A-2E=0 =(4+254-39)+46=0=(4+2-4-39间-E 6
16 证明 ( )( )( ) 11 1 1 1 1 AB B A A BB A AEA AA E −− − − − − = = == ( ) 1 1 1 AB BA − − − ∴ = 。 推广 ( ) 1 1 11 A12 2 1 A A A AA m m − − −− " " = 。 例 设 123 13 2 1 2 2 1, , 2 0 5 3 343 31 A BC ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ ⎞ = == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ， 求矩阵 使满足 X AXB C= 。 解 1 132 32 3 52 , 111 A− ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 3 1 5 2 B− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 又由 1 1 11 11 AXB C A AXBB A CB X A CB − − −− −− =⇒ = ⇒ = 于是 1 1 X A CB − − = 1 3 2 13 3 1 32 3 52 2 0 5 2 1 1 1 31 1 1 3 1 0 2 5 2 0 2 2 1 10 4 10 4 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 例 设方阵 A 满足方程 2 AAE − − = 2 0，证明 AA E , 2 + 都可逆，并求它们的 逆矩阵。 证明 2 由AAE −− = 2 0 ，得AA E E ( − =) 2 ， 2 A E A E − ⇒ = ，故 可逆 。 A ( ) 1 1 2 A A E − ∴ = − 。 2 又由AAE −− = 2 0 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 3 40 2 3 4 A EA E E A E A E E ⎡ ⎤ ⇒ + − + =⇒ + − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
故4+2E可逆，且(A+2E)'=-(4-3E) 例解矩阵方程 oC3-G3 8 o 解 o日r-别 给方程两端左来矩阵（日，得 到x到 刮-任 2110-15 1-11 给方程两端右乘矩阵110 211 。罪可动 -10-1423 给方程两端左乘矩阵11八0 321 321
17 2 故 可逆 ， A E + ( ) ( ) 1 1 2 3 4 A E AE − 且 + =− − 。 例 解矩阵方程 （1） 1 5 32 1 4 14 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ； （2） 1 11 1 2 3 110 20 4 211 0 15 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ； （3） 1 11 1 11 4 2 3 1 1 0 1 1 0 0 15 211 321 211 X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 。 解 ( ) 1 5 32 1 1 4 14 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − 给方程两端左乘矩阵 1 1 5 1 4 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，得 1 1 1 5 1 5 1 5 32 1 4 1 4 1 4 14 X − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −− − 1 1 5 3 2 4 5 3 2 17 28 1 4 14 1 114 4 6 X − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −− − − ⇒= = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− − − 。 ( ) 1 11 1 2 3 2 110 20 4 211 0 15 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − 给方程两端右乘矩阵 1 1 11 110 211 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 得 1 1 2 3 1 11 2 9 5 20 4 110 2 8 6 0 1 5 2 1 1 4 14 9 X − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− 。 ( ) 1 11 1 11 4 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 15 321 321 211 X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 给方程两端左乘矩阵 1 1 11 110 321 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，右乘矩阵 1 1 11 110 321 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1-114231-11 得 x=1100-15110 322132 13-42313 -1-9-5421 =-1-210-15-1-21= 954-21。 -1-52八211八-1-5221120 -47 (1/2 例设三阶矩阵AB满足关系：ABA=6A+BA,且A 1/4 ,求B。 解： BA-BA=6A→(A1-E)BA=6A→(1-E)B=6E→B=6(A-E)°。 [200)100)T 100 B=6(-E)°=6040 010 =6030 007(001(006 100100)(600 =6030=601/30=020。 (006(001V6(001 四、分块矩阵 在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是 简化矩阵运算。每一小块叫做矩阵的子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中 直接看作是矩阵地元素一样。这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清 晰，意义更加明确。 1.分块矩阵的运算规则 1)A+B:同型矩阵，分法相同，对应子块相加。 （41…A（B…B 其中A,与B,的行数相同，列数相同，那末
18 得 1 1 1 11 4 2 3 1 11 1 1 0 0 15 1 1 0 321 211321 X − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 3 1 4 2 3 1 3 1 9 54 21 1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 54 21 1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − −− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =− − − − − = − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −− −− − 。 例 设三阶矩阵 满足关系 A B, : 1 1 2 6 , 14 1 7 A BA A BA A − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =+ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 且 ，求 B。 解： ( ) ( ) () 1 111 1 A BA BA A A E BA A A E B E B A E 6 6 66 − −−− − − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒= − 。 ( ) 1 1 1 1 200 100 100 6 6 0 4 0 0 1 0 60 3 0 007 001 006 B AE − − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −= − = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 100 1 0 0 600 6 0 3 0 6 0 13 0 0 2 0 0 0 6 0 0 16 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ == = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 。 四、 分块矩阵 在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是 简化矩阵运算。每一小块叫做矩阵的子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中 直接看作是矩阵地元素一样。这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清 晰，意义更加明确。 1. 分块矩阵的运算规则 1) A+B：同型矩阵，分法相同，对应子块相加。 11 1 11 1 1 1 , r r s sr s sr AA BB A B AA BB ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ " " ## ## " " , , 其中 与 的行数相同 列数相同 那末 A B ij ij