第十一章 马氏链模型 11.1健康与疾病 11.2钢琴销售的存贮策略 11.3基因遗传 11.4等级结构 数学建摸
第十一章 马氏链模型 11.1 健康与疾病 11.2 钢琴销售的存贮策略 11.3 基因遗传 11.4 等级结构
马氏链模型 描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 ·系统在每个时期所处的状态是随机的 ·从一时期到下时期的状态按一定概率转移 ·下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 马氏链(Markov Chain) 时间、状态均为离散的随机转移过程 教学建模
马氏链模型 • 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
11.1健康与疾病 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计，以制 订保险金和理赔金的数额 例1.人的健康状祝分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保特健康状态的概率 为0.8，而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 若某人投保时健康，问10年后他仍处于健康状态的概率 数学建模
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 11.1 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率
状态与状态转移 第年健成 状态概率a,(n)=P(Xn=i), 第年疾肩 i=1,2,n=0,1,… 转移概率p=P(X1=Xn=),i,j=1,2,n=0,1… 月，=08P2=1-A,=02 0.8 0.2 0.3 2,=072=1-,=03 0.7 X+1只取决于Xw和P,与Xn,无关 状态转移具 a,(n+1)=a,(n)p1+a2(n)p2 有无后效性 a2(n+1)=a(n)p2+a2(n)p22 教学建摸
转移概率pi j = P(Xn+1 = j Xn = i), i, j =1,2, n = 0,1, Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1 , …无关 p11 = 0.8 1 0.2 p12 = − p11 = 0.7 p21 = 1 0.3 p22 = − p21 = = 第 年疾病 第 年健康 状态 n n Xn 2, 1, 1,2, 0,1, ( ) ( ), = = = = i n a n P X i 状态概率 i n 状态与状态转移 状态转移具 有无后效性 1 1 11 2 21 a (n+1) = a (n)p +a (n)p 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 2 1 12 2 22 a (n+1) = a (n)p + a (n)p
状态与状态转移 0.8 0.2 0.3 a,(n+1)=a,(n)p1+a2(n)p2i 给定(O),预测 a2(n+1)=a,(n)p2+a2(n)p22 a(n),n=1,2.. n 0 2 00 设投保 a1(n) 1 0.8 0.78 0.778 7/9 时健康 a2(n) 0 0.2 0.22 0.222 2/9 设投保 a (n 0 0.7 0.77 0.777 7/9 时疾病 4(n) 0.3 0.33 0.333.. 2/9 →时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 款学建模
n 0 a2 (n) 0 a1 设投保 (n) 1 时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2… 设投保 时疾病 a2 (n) 1 a1 (n) 0 n→时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 + = + + = + 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) a n a n p a n p a n a n p a n p 3 … 0.778 … 0.222 … ∞ 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 … 0.3 0.33 0.333 … 7/9 2/9 状态与状态转移 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22