2003年线性代数考研题 1.(0310)从R2的基a1=(0 到基月=,A=。的过渡矩阵为 解应填 取R2的-0 ,则有 (1,a2)=(E1 3(0-,(AA)=(6(2 于是 A,月)=(a2,a2) 11=(a1a21(0-1 =(an1,a2 2.(03-1-04)设向量组I:喁,,…,《可由向量组Ⅱ:月,月…,月线性表示,则[] )当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关(B)当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关 ()当r<s时,向量组I必线性相关)当r>s时,向量组I必线性相关 解应选[D] 利用已知结论“若向量组I线性无关,且可由向童组Ⅱ线性表示,则r≤s”的逆否命题 知[功]正确 3.(03-1-04)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mXn矩阵,现 有4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B); ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B); ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是[] (A)① (B)①③ ()②④ (D)③④ 应选[B]
若Ax=0的解均是Bx=0的解,则Ax=0的基础解系可由Bx=0的基础解系线性表示 于是n-r(4≤n-P(B),从而(4≥r(B),即①正确;利用①的結果即知③正确 4.(03-1-10设矩阵A=232P=101,B=PAP,求B+2E的 223 特征值与特征向量,其中A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵 解法1经计算可得 70 100,B=PAP=-25-4 700 从而 B+2E=-25-4 E-(B+2E|=22-74=(1-92(-3) 故B+2E的特征值为99,3 当礼=λ2=9时,对应的线性无关特征向量可取为 所以对应于特征值9的全部特征向量为 刃+刃=1|+k0(k,是不全为零的任意常数) 当马=3时,对应的一个特征向量为乃=1,所以对应于特征值3的全部特征向量为 k刃3=与1(k2是不为零的任意常数
法2设A的特征值为,对应的特征向量为刀,即A刀=17.由于|4=7≠0,所 又因为AA=4E,故有7=1n于是有 B(Pn)=PAP(P切)=(Pn) (B+2EPn=(+2)P7 此,1+2为E+2E的特征值,对应的特征向量为P7,由于 E-4|=|-2-3-2|=(-12(- 故A的特征值为=2=1,4=7 当4=42=1时,对应的线性无关特征向量可取为 当4=7时,对应的一个特征向量为=1.由P=100,得 PT Pn2=|-1 因此B+2E的三个特征值分别为9,9,3 对应于特征值9的全部特征向量为 kP3十起P72=-1+b-1(是不全为零的任意常数) 对应于特征值3的全部特征向量为 P3男=1(是不为零的任意常欺
5.(03-1-08)已知平面上三条不同直线的方程分别为 4: ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, 43: cx+2ay+ 36=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0 证法1必要性:设三直线412,3交于一点,则线性方程组 有惟一解,故系数矩阵A=|b2z与缩广矩阵不=|b2-3a|的秩均为2,于是 0.由于 =3a+b+c)[(a-b)2+(-c)2+(-a)2] 但(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故 充分性:由a+b+C=0,则从必要性的证明可知,冈=0,故秩(<3.由于 2=20-23(++641-2(a+2)+21=0 故秩(A)=2.于是 秩(4)=秩()=2 因此方程组(*)有惟一解,即三直线4,42,l2交于一点 法2必要性:设三直线交于一点(y),则y0为Ax=0的非零解,其中 A=b 2c 3a
于是A4 A= 2c 3a=-6(a+b+c)(a+b2+c2-ab-bc-ac a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(-a)2] 但(a-b)2+(b-c)2+(-a) b+c=0 充分性:考虑线性方程组 bx+ 2cy=-3a 将方程组(*)的三个方程相加,并由a+b+c=0可知,方程组(*)等价于方程组 2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2]={a2+b2+a+b)21]≠0 故方程组(料)有惟一解,所以方程组(*有惟一解,即三直线4,42,2交于一点 6.(03204没设a为3维列向量,a2是a的转置若aa2=-11-1,则 解应填3 设a=(x,y,z),则由 a 可得x2 z2=1,于是