2002年线性代数考研题 1.(02-103已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x2+x2+2)+42+4x3+4x22经正 交变换x=P可化成标准形∫=6y2,则a 解应填2. 变换前后二次型的矩阵分别为 A=2 2|,B=000 0 它们是相似的,于是6,0,0是A的特征值.利用 1+2+3=6+0+0=411+a2+a33=a+a+a 2.(0210已知4阶方阵A=(喁喁,,喁),,,,均为4维列向量,其中 α,喁,《銑性无关,a=2α2-&如果β=媽+2+&+《,求性方程组Ax=β 的通解, 解法1令x 则由 x1+x22+x2《+x44=《+《+c+a 将1=2a2-&代入上式,整理后得 (2x1+x2-3a+(-x+x3)吗+(x4-1)c= 由a2,&,a线性无关,知 2x1+x2-3=0 0 解此方程组得 +a (k为任意常数)
2由a4,性无关和a=2a2-a+0a,故A的秩为3,因此Ax=0的 解系中只包含一个向量.由 0 知(1-2,10)为齐次线性方程组Ax=0的一个解,所以其通解为 k(1-2,1,0)2(k为任意常数) 再由 B=a+a2+a+a4=(a,,a,a),|=4 知(111.非齐次线性方程组Ax=B的一个特解,于是Ax=B的通解为 x=(11k(1,-210)(k为任意常数) 3.(02-1-08股设A,B为同阶方阵 (1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等 (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立 (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立 证(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,故 B= IP=P-AEP-P-AP P-IGE-AP=PIPE-A IPI P1|P|E-4=|E-4 B 那么 AE-A AE 但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵P,使 P-AP=B=O
从而 矛盾 (3)由A,B均为实对称矩阵知,A.B均相似于对角阵 若AB的特征多项式相等,记特征多项式的根为A1…,则存在可逆矩阵P,Q使 PAP 于是(PQ)A(PQ=B.由PQ1为可逆矩阵知,A与B相似 0-2-2 4.(02203矩阵22-2的非零特征值是 2|A22 1-4=24-22=04 A的特征值为A1=4,A2=2=0 5.(022-03)设向量组吗,2,3线性无关,向量月可由,a,线性表示,而向量 A不能由,,&线性表示,则对于任意常数k必有[ aa,a月+A线性无关(Ba,a,a,月+线性相关 (ca,a,A+B线性无关①2,a,a,月+线性相关 解应选[匀] 由题意,月=l1a+l22+2a;因为兵不能由a,a2,3线性表示,所以 a1,a2,3,A线性无关.设 k1十k22+k2匹2+k4月+B2) 将月=11+l22+2a代如上式并整理得 (1+k41)1+(2+k42)a2+(k+k431)+k4月=0 由a,a2,3,B銈性无关得 k1+k41k=0,k2+k42k=0,k3+k4 可见对于任意常数k都有k1=k2=k3=k4=0,故a,&,,月+A线性无关
对于向量组a,1,3,月+k月,当k=0时是线性相关的;而当k≠0时,可证它是线性 无关的 6.(022-0)已知AB为3阶矩阵,且满足2A-B=B-4E,其中E是3阶单位矩 (1)证明:矩阵A-2E可逆 (2)若B= 解(1)由2A1B=B-4E知,AB-2B-4A=O,从而 (A-2E)(B-4E)=8E,或(A-2E)=(B-4E)=E 故A-2E可逆,且(4-2E)+=(B-4E) (2)由(1)知A=2E+8(B-4E),而 4E) 1-20 0 00 7.(02303设三阶矩阵A=212,三维列向量a=(1.已知Aa与a 线性相关,则a= 解应填-1 构造矩阵B=(Aa),由Aa与a线性相关知r(B)=1.而 B=(Aaa)=2a+31 2a+31|→2x+31 3a+41 a+10 可见a=-1时r(B)=1
8.(02303)设A是mXn矩阵,B是Xm矩阵,则线性方程组(AB)x=0[ (A)当>m时仅有零解(B)当n>时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解(①)当m>n时必有非零解 解应选[D], 当m>n时,r(AB)≤r(A)≤n<m,而AB是m阶矩阵,故(AB)x=0必有非零 9.(02-3-03)设A是阶实对称矩阵,P是阶可逆矩阵.已知维列向量a是A的 属于特征值的特征向童,则矩阵(P1AP)属于特征值的特征向量是[] (A)P-c ( B)pa (C)Pa (D)(P) 解应选[B] 因为 (P-AP)(Pa)=(PP-AP)a=(AP)Ta=PTAa= PTAa=A(PTa 所以矩阵(PAP)属于特征值的特征向量是Pra 10.(02-3-08设齐次线性方程组 3 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多 組解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解, 解方程组的系数行列式 b=[a+(n-1)b]a-b) (1)当a≠b,且a≠(1-n)b时,方程姐仅有零解 (2)当a=b时,对系数矩阵A作行初等变换,有