练习3-1 1.验证罗尔定理对函数 v=In sinx在区间[,5]上的正确性 2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1 上的正确性 3.对函数fx)=inx及F(x)=x+cosx在区间[,]上验证柯西 中值定理的正确性 4.试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求 得的点5总是位于区间的正中间 5.不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)x-4)的导数,说明方程 f(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间
练习 3-1
6.证明恒等式: arcsinx+ arccos=z(-1x≤1) 7.若方程aa"+ax+…+an-1x=0有一个正根xo,证明方程 aonx"+a1(m-1)x+…+an-1=0 必有一个小于xo的正根 8.若函数fx)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=x2)=f(x3),其 中a<x1<x2<x3<b,证明:在(x1,x3)内至少有一点5,使得f"()=0. 9.设a>b>0,m1,证明:mb(a-b)<a-b<nan(a-b) 10.设a>b>0,证明:a-b<ma<a-b b b 11.证明下列不等式: (1)larctana-arctan b sa-bl (2)当x1时,e>ex
12.证明方程x5+x-1-0只有一个正根 13.设f(x)、g(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,证明在(a,b) 内有一点,使 g(a)g(b)=(b-a)/(a)f(5 g(a)g(5) 14.证明:若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式f(x)=f(x),且 f(0=1则f(x)=e 15.设函数y(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且 f(0)f(0)=……=f=0)=0,试用柯西中值定理证明 f(x)f(m时(0<6<1)
练习3-2 1.用洛必达法则求下列极限: (1)li n(+x) x-)0 (2)lim=.e-r x→)0Sinx (3)lim sInx-sina (4)lim In 3x x→ztan5x (5)lim In sinx xx(-2x)2
练习 3-2
(6)lim (7)lim In tan7x x→+0 In tan2x (8)lim tanx x→ t tan 3x ln(1+ 9)lim x→+∞ arc cotx (10)lim n(+x2) x→0secx-coSx (1)lim xcot 2x; (12)limx2ex2