练习5-1 1.利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1,两直线x=a、xb (b>a)及横轴所围成的图形的面积 2.利用定积分定义计算下列积分 (1)xht(x≤b) (2)e'r 3.利用定积分的几何意义,说明下列等式 (1)2ht=1, √-x2dh=z 3)「 sin xdx=0 (4) cosxdx=2 2cosxdx 4.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知闸门上水的 压强p是水深h的函数,且有p=98hkNm?)若闸门高H3m,宽 L=2m求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 5.证明定积分性质 (1 kf()dx=kf(x)h ld=「at=b-a 6.估计下列各积分的值 (1)(x2+1)dhr (2)/F1+sin2x)dx
练习 5-1
(3)arctanxdx 7.设fx)及g(x)在[a,b]上连续,证明 (1)若在[ab]上,f)20,且f()hx=0,则在[a,b]上fx)=0, (2)若在[a,b上,)20,且A不恒为零,则[f(x)h>0 (3若在a,b1上,0g(),且∫/)h=g,则在a 上fx)=g(x) 8.根据定积分的性质及第7题的结论,说明下列积分哪一个的 值较大 xb还是rth? x还是[xh? (3mx还是∫myth? (4)x还是hn(1+xt? ∫2还是+x? 练习5-2 1.试求函数y=[ sinter当x=0及x=时的导数 2.求由参数表示式x=Camd,y=co定的函数y 对x的导数 3.求由[ed+「 costa=0所决定的隐函数y对x的导 dx 4当x为何值时,函数1()=g有极值?
练习 5-2
5.计算下列各导数 V1++2dt 么C dt 1+t cos(u2)dt 6.计算下列各定积分 (1)(3x2-x+1h (2(x+)kx (3√0+√M (4) 3x4+3x2+1 (8) e-11+x (10)tan2( (11) Isin xkl x+1x≤1 (12)f(x)dx,其中f(x)=1x2x>1
7.设k为正整数.试证下列各题 (1) coshed=0 (2) sin kxax=0 ( cos kxcx=T (4)「sin2kdh=x 8.设k及1为正整数,且kl.试证下列各题 (d cos kr sin ldr=0 (2) coser cosldr=0 (3) sin kosin lxx=0 9.求下列极限 cost2 dt (1)lim x→0 (2)加m5eam2 0设()-101求0)Om在2上的表达式 并讨论qx)在0,2)内的连续性 1l.设f(x)=12 sinx c≤x≤丌 x<0或x>丌 求=O在(,+ 内的表达式
12.设f)在[ab上连续,在(an,b)内可导且f"(x)≤0, F(r) f(odt 证明在(a,b)内有F(x)≤0 练习5-3 1.计算下列定积分 (1)l sin(r+)dx d 2(11+5x) ()sin ocos'pdo cos udu l, dx 10)x+x2 5-4x 切/(D 1+√x
练习 5-3