练习8-1 1.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集和边界 (1){(x,y)x≠0,y≠0}; 2){(r,y)1<x2+y2≤4}; (3){(x,y)vx2}; (4){(r,y)kx2+(y-1)21}o{(x,y)kx2+(y-2)4} 2.已知函数f(x,y)=x2+y2-ytan3,试求f(x,1y) 解f(x,n)=(x)2+(h)2-()(n)(tan (x2+12-rytan )=+f(x, v) 3.试证函数F(x,y)- nx.Inv满足关系式 F(ry, uv)=F(, u+F(, v)+F, u+F(, v). 4.已知函数几u,v,)=+12+,试求几x+y,x-y,xy) 5.求下列各函数的定义域 (1)z=ly2-2x+1 (2)z (3)二=x (4)z=ln(y-x)+ (5M=VR2-x2-y2-z2 (R>r>0 (6u=arccos x+ 6.求下列各极限
练习 8-1
(1)lim x,y)→>(01x2+y In(x x=0x2+ 2-√y+4 xy)-×00 (4) lim xy)>(0√xy+1-1 (5)lim sIn(r1 (xy)-×20)y .pno 1-cos(x2+y2) 00)(x2+12)ex2y2 7.证明下列极限不存在: (1) lim xy)-00)x (2) lim (xy)-0)x2y2+(x-y) 8.函数,y2+2在何处间断? 9.证明lm (xy)=0)、x2 10.设F(x,y)=f(x),f(x)在xo处连续,证明:对任意v∈R,F(x,y) 在(xo,1o)处连续 练习8-2 1.求下列函数的偏导数 xavi
练习 8 - 2 >
(2)s= (3)=√n(xy) (4)2=sin(xyHcos (rv (5):=In tan (6)z=(1+xy)2; (8)arctan(t-1 2.设7=2g,试证(m+8 =0 3.设 求证x2+y2=2z a a 4.设f(xy)=x+(y-) arcsin,x,求f(x,D x2+ 5.曲线=4在点(2,4,5处的切线与正向x轴所成的倾角是多少? 4 6.求下列函数的9,02.02 av2 axa (2):=arctan=' 7.设fx,y,)xy2+12+x2,求质(0.,0,1),(1,0,2,0,-1,0) 及2(2,0,1 8.设z=m),求C及 ar2
9.验证: (1)y=她m满足=ky; (2)7=√+y2+2满足0+02+0°r=2 练习8-3 1.求下列函数的全微分: (1)z=xy+ y (4 2.求函数l(1+x2+12)当x=1,y=2时的全微分 3.求函数z=当x=2,y=1,△x=0.1,△v=0.2时的全增量和全微分 4.求函数=当x=1,y=1,△x=0.15,△1=0.1时的全微分 5.计算√102)+(97)的近似值 *6.计算(.97)0的近似值2=0693) *7.已知边长为x=6m与y=8m的矩形,如果x边增加5cn而y边减少10cm, 问这个矩形的对角线的近似变化怎样? *8.设有一无盖圆柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1cm 内高为20cm内半径为4厘米,求容器外壳体积的近似值 *9.设有直角三角形,测得其两腰的长分别为7±0.1cm和24±0.lm, 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差 10.测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m和78±0.lm 这两边的夹角为60°±1°,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差 和相对误差
练习 8-3
*1.利用全微分证明:两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对 误差之和 *12.利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和 证明设1=x,v=x,则△dhe=1bx+h, △v≈ah_yhx-zh 由此可得相对误差 △ dul idx+ rdv dx hx,v△x