2004年线性代数考研题 1.(041.04)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中x为 A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B 解应填 可求得团A=3.给等式ABA=2BA+E两边左乘矩阵A并利用AA=|4|E=3E 得3AB=6B+A,于是3A-2E)B=A,即B=(A-2E)A.故 A-2E) 3-2E5 2.(04-1-04)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加 到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[] (A)100(B)101(c100()100 记初等矩阵E=100,E2-|011,则由题设条件得B=AE1 C=BE2,于是C=BE2=AE1E2=AQ,其中 010Y/100)(011 Q=E1E2=100011 3.(04-1-04)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有[ (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 ①D)A的行向量组銈性相关,B的列向量组线性相关 解应选[A] 设A是mn矩阵,B是n×s矩阵,由于它们是非零矩阵,所以r(4>0 r(B)>0;又由AB=O知r(A+r(B)≤n,从而r(A<n,r(B)<n,故A的列向量 组线性相关且B的行向量组线性相关
4.(04-1-09)没有齐次线性方程组 (1+a)x1+x2+…+x2=0, (2+a)x2+…+2x2=0 (n≥2) 0 试司a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 解法1对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 2 当a=0时,r(A=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+…+x 由此得基础解系为 刀=(-110…,0),2=(-101,…0),…,刀n=(-10,0,…1, 于是方程组的通解为 x=k阴+…+k21(k1,…,k1为任意常数) 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 +1) 210 可知a= 时,P(A=n-1<n,故方程组也有非零解,其同解方程组为 0 由此得基础解系为 是方程组的通解为 x=k7(k为任意常数)
法2方程组的系数行列式为 22+a2 +1)、x-1 当A=0,即a=0或a=2(+ 2时,方程组有非零解 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有 故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 刀=(-1.10.…,0)2,刀2=(-10.…,0)2,… (-1,0.0.…1) 于是方程组的通解为 x=十…十k2男21(k1…,k1为任意常数) 当a=_x(2+少时,对系数矩阵A作初等行变换,有 2+a 故方程组的同解方程组为 2x1+x2=0 由此得基础解系为
于是方程组的通解为 x=k(k为任意常数) 5.(0+19)矩阵A4=|-14-3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论 A是否可相似对角化 解A的特征多项式为 1 λ-5-1-aA 0 -2)11-43=(-2)1A-33 =(-2)(x2-8+18+3a) 若λ=2是特征方程的二重根,则有22-16+18+3a=0,解得a= 当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=1-23的秩为1,故 12-3 λ=2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化 若λ=2不是特征方程的二重根,则12-81+18+3x为完全平方,从而 18+3a=16,解得a=、2 A的特征值为2,4,4,矩阵4E-A=1 3的秩为2 λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化 6.(04209)设有齐次线性方程组 1+a)x1+x2+x3+x4=0, 2x1+(2+a)x2+2x3+2x4=0 3x1+3x2+(3+a)x3+3x4=0 4x1+4x2+4x+(4+a)x4=0 试可a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解
解法1对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 1+a11 22+a22 -2aa00 B 33+a 44+a 当a=0时,r(4=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x+x2+ 由此得基础解系为 =(-110,0,2=(-1010)2,乃3=(-1.0,1) 于是所求方程组的通解为 x=k+k2刃2+k7(k,k,k为任意常数) +100C0 2100 21C0 3010 30 0 40C 可知a=-10时,r(4=3<4,故方程组也有非零解,其同解方程组为 2x1+x2=0 4x1+x4=0. 得基础解系为 7=(12,34) 于是所求方程组的通解为 x=k(k为任意常数) 法2方程组的系数行列式 1+a111 22+a2 当A4=0,即a=0或a=-10时,方程组有非零解 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有