自动控制理论 >因为n≥m,所以根轨迹分支共计为n条； >根轨迹起点就是k。=0时根的位置，当k,=0时有： T6+p,》=0 根轨迹的始点为开环传递函数的极点 >根轨迹终点就是当K。→0时根的位置； s+pm+6+功=0 当K。→o时，则有 +)=0 i=l 由此式可知，开环传递函数的零点-z(位=1,2，m)是m条根轨迹分 支的终点 当n>m时，余下(n-m)条根轨迹分支的终点位置需确定 11 第四章 根轨迹法 2025/1/14
11 第四章 根轨迹法 2025/1/14 ( ) 支的终点 由此式可知,开环传递函数的零点− zi i = 1,2,,m 是m条根轨迹分 自动控制理论 ( ) 0 1 + = = m i i s z ( ) 0 1 + = = n l pl s 根轨迹的始点为开环传递函数的极点 ( ) ( ) 0 1 0 1 1 + + + = = = m i i n l l s p s z K 当K0 → 时,则有 当n＞m时,余下(n − m)条根轨迹分支的终点位置需确定 ➢因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条； ➢根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有： ➢根轨迹终点就是当 K0 → 时根的位置；
自动控制理论 is+】 1 IIs+p.X Ko 当K。→o时，则有 6s+,》 lim i=1 li、1 =0 K0→ Is+p,》 1=1 可见s→ooep也能满足上式 n条根轨迹分支 [m个开环极点→m个开环有限零点 (血-m)个开环极点→(n-m)个开环有限零点 规则3：根轨迹在实轴上的分布 第四章 根轨迹法 2025/1/14
12 第四章 根轨迹法 2025/1/14 ( ) ( ) − → − → → n m 个开环极点 n m 个开环有限零点 m个开环极点 m个开环有限零点 n条根轨迹分支 可见s e j 也能满足上式 规则3：根轨迹在实轴上的分布 自动控制理论 当K0 → 时,则有 ( ) ( ) 0 1 lim lim 0 1 1 0 0 = = + + → = = → K s p s z K n l l m i i K ( ) ( ) 0 1 1 1 K s p s z n l l m i i = + + = =
自动控制理论 图4-7实轴上根轨迹的确定 >实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点$，右方实轴上开环极点数 与零点数之和的数是否为奇数。 arg[G(s)Hss=(m+n,)z=±(2k+1)m,k=0,12,. m,和n,分别为点s,右方实轴上的开环零极点结论 m,+n,=奇数，点s,满足相角条件 13 第四章 根轨迹法 2025/1/14
13 第四章 根轨迹法 2025/1/14 图4-7 实轴上根轨迹的确定 mr和nr分别为点si右方实轴上的开环零、 极点结论。 自动控制理论 ➢实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 Si 右方实轴上开环极点数 与零点数之和的数是否为奇数。 argG(s)H(s) s=si = (mr + nr ) = (2k +1), k = 0,1,2, mr + nr = 奇 数， 点si满足相角条件
自动控制理论 规则4：根轨迹的渐近线 1、渐近线的倾角 -(n-m)9=±2k+1)m 6=干2k+z k=0,12 n-m 2、渐进线与实轴交点 G(s)H(s)=- .fm s"ps+.1p 3、用分子除以分母得 G(sH(s)= Ko +0-4 14 第四章 根轨迹法 2025/1/14
14 第四章 根轨迹法 2025/1/14 规则4：根轨迹的渐近线 ( ) ( ) + + − = − − = = − 1 1 1 0 n m m i i n l l n m s p z s K G s H s 自动控制理论 1、渐近线的倾角 ( ) ( ) ( ) , 0,1,2, 2 1 2 1 = − + = − − = + k n m k n m k 2、渐进线与实轴交点 ( ) ( ) = − = + = − = + + + = n l l n n l l n m i i m m i i m s p s p K s z s z G s H s 1 1 1 1 1 1 0 3、用分子除以分母得
自动控制理论 当s→o时， 令某系统的开环传递函数为W(S)= Ko (s+)-m Ko sr-m+(n-m)64s"-m-+. 1+W(s)=0,有（如-m)条根轨迹分支，它们是由实轴上s=-o,点出发的射线， 且与实轴的夹角 9=±2k+1zk=0,12, n-m 若令a-ma-n-门 则： [In-T n-m 15 第四章 根轨迹法 2025/1/14
15 第四章 根轨迹法 2025/1/14 n m p z m i i n l l A − − − = =1 =1 自动控制理论 当s → 时, ( ) ( ) n m A s K W s − + = 令某系统的开环传递函数为 0 + ( − ) + = − − −1 0 n m A n m s n m s K ( ) ( ) 且与实轴的夹角 1+W s = 0,有 n − m 条根轨迹分支,它们是由实轴上s = −σA点出发的射线, ( ) , 0,1,2, 2 1 = − + = k n m k ( ) = = − = − m i i n l A l n m p z 1 1 若令 则：