《高等数学》课程教学资源：第五章 定积分习题课

例3证明lim dx=0 n-→∞oJ1+x 0 证 ∵0< <X 0< dx<x dx 1+x 1+x n 令 n→0o 由夹逼定理得 dx=0 n→ 1+x 0 证二由广义积分中值定理 d x x dx= +x1+5 0 1+ln+1 1,有界 0 lim- dx=0 1+5 ooJ1tx

例3 证明 0 1 lim 1 0     dx x x n n 证一 n n x x x    1 0       1 0 1 0 1 0 dx x dx x x n n 1 1   n 令n  ,由夹逼定理得 0 1 lim 1 0     dx x x n n 由广义积分中值定理 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0          n dx x dx x x n n   0 1 1 | 1, lim 1 1 |     n n 有界   0 1 lim 1 0      dx x x n n 证二

证三记L-,则m-「 0 →In+ln=xc L<I n+1 0 2MH1SIn+lmI →Ⅰ≤ n 2n 令n→∞,由夹逼定理得lim =0 n>∞J1+x 例4求极限 (1lim[ ∴十 n→>∞0n+1n+2 n+n (2)limIn n→o

dx x x I n n    1 0 1 记 I dx x x n n      1 0 1 1 1 则        1 0 1 1 1 n I I x dx n n n 令n  ,由夹逼定理得 0 1 lim 1 0     dx x x n n 例4 求极限 ] 1 2 1 1 1 (1)lim[ n n n n  n        n n n n ! (2)limln  n n I  I 1 2 n1  n  n1 I I I n In 2 1   证三

解①I=lim +… 2 n 1+-1 十 n n n→i=11十 n dx=In(1+x)=In 2 1+x ②I=lim.lmn( n-co n n n lim( □n n-oo IInxdx=-1 0

解 ① ] 1 1 2 1 1 1 1 1 lim[ n n n n I n          n n i n i n 1 1 1 lim 1      1 0 1 0 ln(1 ) 1 1 dx x x       ln2 ② ) 1 2 ln( 1 lim n n n n n I n      n n i n i n 1 lim( ln ) 1          1 0 lnxdx 1

由以上两例可见,连续函数∫(x)的定积分 与数列的极限有着密切联系 如果能把数列的通项写成∑f(减或∑f( n 的形式就可以利用 ∑∫(2)或 n→>on;1 im∑f( n-o0=1 把数列极限问题转化为定积分∫x)dk的计算问题 0

如果能把数列的通项写成 ) 1 ( 1 ( ) 1 1 1      n i n i n i f n n i f n 或 的形式 就可以利用 ( ) 1 lim 1   n i n n i f n 或 ) 1 ( 1 lim 1    n i n n i f n 把数列极限问题转化为定积分  1 0 f (x)dx 的计算问题 与数列的极限有着密切联系 由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分