函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念,它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中,还会遇 到与导数密切相关的另一类问题,这就是当自变 量有一个微小的增量时,要求计算函数的相应的 增量。一般来说,计算函数增量的准确值是比较 繁难的,所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念—微分
函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分
、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x0+△x, △x 正方形面积A=x, △4=(x0+△x)2-x0 A =2x0·△x+(△x)2 (2) (1):Ax的线性函数且为△4的主要部分; (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 设边长由x0变到x0 + x x0 0 x x x , 2 0 正方形面积 A = x 2 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) x x 0 x x 0 (1): x的线性函数,且为A的主要部分; (2) 2 (x) (2): x的高阶无穷小,当x很小时可忽略
再例如,设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量Ay △y=(x+△x)3-x8 =3x2△x+3x·(△x)2+(△x)3 当△x很小时,(2)是△x的高阶无穷小o(△x) .Ay≈3xa·△x 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x), 3 . 2 0 y x x 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义 x及x0+Δx在这区间内如果 y=∫(x0+△x)-∫(x)=A.△x+0(△x) 成立(其中4是与Ax无关的常数),则称函数 y=∫(x)在点x可微,并且称4△x为函数 y=∫(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分, 记作小=或d(x即小sn=A△x 微分d叫做函数增量Δy的线性主部微分的实质)
二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部( . 微分的实质)
由定义知: (1)小y是自变量的改变量A的线性函数 (2)△y-=0(△x)是比Ax高阶无穷小 (3)当A≠0时,与是等价无穷小; 的1+O(△x) △y A·At~)1(x→>0) (4)A是与△无关的常数但与f(x)和x有关; (5)当x很小时,4≈小(线性主部)
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)