微积分基本公式如果F(x)是连续函数 f(x)在区间a,b上的一个原函数,则 /(x=F(b)-F(oJf(x)d=F(x 定积分的计算法牛顿一莱布尼茨公式 (1)换元法 Cf(rdx=flo(t)lo(tdt. 换元积分公式 (2)分部积分法 uav uv 、/6 v 分部积分公式
( ) [ ( )] . b a b a f x dx F x 定积分的计算法 牛顿—莱布尼茨公式 （1）换元法 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( ) 换元积分公式 （2）分部积分法 b a b a b a udv [uv] vdu 分部积分公式 微积分基本公式 如果F(x)是连续函数 f (x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 ∫nf(x)t=limf(x)d b b f(x)d= lim f(x)dx (2)无界函数的广义积分 b f(xdx =lil im f(x)dx E→+0a+E b-a f(x)dx= lim f(x)dx E→+0a
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 a f (x)dx b b a lim f (x)dx b f (x)dx b a a lim f (x)dx (2)无界函数的广义积分 b a f ( x)dx b a f x dx lim ( ) 0 b a f (x)dx b a lim f ( x)dx 0
b b f(x)dx ∫nf(x)dx+ f(x)d C b lim f(x)dx+ lim f(x)dx E→)+0·a →+0c+E 三、典型例题 例1 求 sIn 0 sinx+ cos x 解由/= sInd dx,设J=[2 cosx 0 sinx+cos x 0 sinx+ cosx 则I+J=[2d T 0 2 SIn-cos d x_f2d(cos x+sinx) 0 sinx+ cosx 0. 0 sinx+ cosx 故得2Ⅰ= 即I 2
b a f ( x )dx c a f ( x )dx b c f ( x )dx c a lim f ( x)dx 0 b c f x dx lim ( ) 0 三、典型例题 例1 . sin cos sin 2 0 dx x x x 求 解 , sin cos sin 2 0 dx x x x 由 I , sin cos cos 2 0 dx x x x 设 J , 2 2 0 则 I J dx 2 0 sin cos sin cos dx x x x x I J 2 0 sin cos (cos sin ) x x d x x 0. , 2 2 故得 I . 4 即 I
例2广义积分中值定理 设x)在|a,b上连续,g(x)在|a,b上可积,且 不变号,则 ∈ab,使f(x)g(x)d=f(5)|g(x)tx 证因x)在[a,为上连续,故(x)在{a,b上必取得 最大值M和最小值m,m≤f(x)≤M 又g(x)在|a,b上不变号故不妨设g(x)≥0 →Jg(x)≥0mg(x)sf(x)g(x)≤Mg(x) →m」g(x)x≤」f(x)g(x)dxsM!g(x)d
例2 广义积分中值定理 设f(x) 在 [a ,b]上连续， g(x) 在 [a ,b]上可积，且 不变号，则 b a b a [a,b],使 f(x)g(x)dx f() g(x)dx 证 因f(x) 在 [a ,b]上连续，故f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值M和最小值m， m f(x) M 又g(x) 在 [a ,b]上不变号 故不妨设 g(x) 0 b a g(x)dx 0 mg(x) f (x)g(x) Mg(x) b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx
若∫8(x)d=0则由上式知∫f(x)g(x)d=0 →j/(x)gx)k=/)8号可取a,b内任一点 若∫则0J(x →M≤ M 由介值定理 ∫/(x)g(x)J( 5∈Ia,使f(5)=ab g(x)dx →∫/(x)g(x)=()x)d
若 ( ) 0 b a g x dx 则由上式知 b a f (x)g(x)dx 0 b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx 可取[a ,b]内任一点 若 b a b a g(x)dx 0,则 g(x)dx 0 M g x dx f x g x dx m b a b a ( ) ( ) ( ) 由介值定理 b a b a g x dx f x g x dx a b f ( ) ( ) ( ) [ , ] 使 ( ) b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx